Производные основных элементарных функций
· Показательная функция .
Имеем .
Действительная и мнимая части будут, соответственно,
.
Находим частные производные: . Следовательно, , т.е. условия Коши-Римана выполнены, значит, функция аналитическая, и ее производная:
.
· Функция .
По определению: . Т.е. является аналитической функцией, тогда, пользуясь правилами дифференцирования, получим:
.
· Функция .
Аналогично предыдущему:
.
· Функция .
.
· Функция .
.
· Функция .
Логарифмическая функция является обратной к показательной функции, а значит – аналитической. Воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции.
Имеем: , тогда
.
· Функция .
Производную степенной функции вычислим непосредственно по определению:
.Предел существует, следовательно, функция аналитическая, и ее производная:
.
Таким образом, мы показали, что основные элементарные функции комплексного переменного являются аналитическими функциями. Следовательно, всякая функция комплексного переменного, являющаяся композицией конечного числа основных элементарных функций, будет аналитической или дифференцируемой в области своего определения.
Пример.Вычислить производную функции .
Решение. Имеем: =
= .
1.3.4. Восстановление аналитической функции по известной действительной или мнимой части
Условия, при которых функция комплексного переменного дифференцируема, достаточно жесткие. Поэтому, аналитическая функция, с точностью до постоянного слагаемого, может быть задана свой действительной или мнимой частью.
Действительная и мнимая части функции , аналитической в некоторой области D, связаны условиями Коши – Римана:
.
Пусть известна одна из частей аналитической функции, например . Из условия: можно найти (с точностью до неизвестной функции ). Эту функцию , с точностью до постоянного слагаемого, найдем из второго условия .
А именно, или .
Пример.Найти аналитическую функцию , если известна её мнимая часть .
Решение. Так как , то из условия находим: . Следовательно, , где функция пока неизвестна. Для нахождения функции дифференцируем это равенство по y и приравниваем к известной производной, используя условие :
, откуда
Следовательно, Окончательно получаем
= .
Ответ. .
Дата добавления: 2016-01-09; просмотров: 668;