Формула Муавра и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
Свойства модуля и аргумента комплексного числа позволяют получить формулу возведения комплексного числа в целую положительную степень:
- эту формулу называют формулой Муавра.
Или в показательной форме .
Легко проверить, что эта формула остается справедливой и для , и для целых отрицательных степеней.
Пример.Найти
Решение. Запишем сначала число в тригонометрической форме:
,
.
По формуле Муавра имеем:
Определение.Корнем n-ой степени из комплексного числа
называется такое комплексное число
, для которого:
.
Из определения и формулы Муавра ясно, что модуль искомого корня будет , а аргумент
, где
. Таким образом,
или .
Придавать «k» значения, большие, чем не имеет смысла, так как будем получать уже имеющиеся значения аргумента (с точностью до
). Следовательно, корень n-ой степени из комплексного числа имеет n различных значений, модули которых одинаковы (
), а аргументы двух последовательных значений отличаются на угол
. Таким образом, все значения корня лежат на окружности с центром в начале координат радиуса
.
Пример.Вычислить все значения корня
Решение. ,
,
,
,
.
Ответ. ,
.
Пример. Найти все значения .
Решение. Имеем ,тогда
.
Ответ. ,
.
1.2. Функции комплексного переменного
Пусть - некоторое множество комплексных чисел (или множество точек комплексной плоскости). Пусть комплексное число
может принимать любое значение из
, тогда будем называть
- комплексным переменным, а
- областью его изменения.
Определение.Величина называется функцией независимого переменного
,если каждому значению
соответствует одно или несколько комплексных значений
, при этом пишут:
.
Запишем комплексные числа и
в алгебраической форме:
,
.
Тогда , и значит, задание функции комплексного переменного
эквивалентно заданию двух действительных функций от двух действительных переменных.
Определение. Число называется пределом функции
при
, если для любого
найдется такое
, что
как только
(
). Записывают:
.
Несложно показать, что соотношение ,
где , а
,
эквивалентно двум действительным соотношениям:
.
Определение. Функция называется непрерывной в точке
, если она определена в некоторой окрестности этой точки и
.
Если , определенная на множестве
, непрерывна в каждой точке этого множества, то говорят, что она непрерывна на множестве
. Вновь легко показать, что условие непрерывности функции
в точке
эквивалентно двум соотношениям:
. Таким образом, функция комплексного переменного непрерывна в точке
тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части, рассматриваемые как функции действительных переменных
и
, непрерывны в той же точке.
Введем определения основных элементарных функций комплексного переменного.
Показательная функция .
Определение.Функция для комплексных значений z=x+iy определяется формулой:
.
Следовательно,
Свойства функции :
· Для любых и
справедливо:
.
· Функция периодична с периодом
:
.
· Функция непрерывна на всей комплексной области.
· Для любого имеют место равенства:
· Функция принимает все значения, кроме нуля, т.е. уравнение
разрешимо для любого комплексного
.
Дата добавления: 2016-01-09; просмотров: 1588;