Определение комплексного числа
Теория функций комплексного переменного
Комплексные числа и операции над ними
Определение комплексного числа
Определение.Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел :
.
Например: ,
.
Действительные числа х и у называются, соответственно, действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются: .
Комплексные числа, у которых мнимая часть равна нулю, т.е. числа вида: отождествляют с действительными числами.
Определение.Два комплексных числа и
называются равными тогда и только тогда, когда
и
, то есть
Определение.Суммойкомплексных чисел называется комплексное число z, определяемое равенством:
.
Определение.Произведением комплексных чисел называется комплексное число z, определяемое равенством:
.
Геометрически комплексное число можно изобразить точкой
на плоскости, т.е. точкой с декартовыми координатами
, или вектором
, идущим из начала координат в точку
(радиус-вектором точки М). Плоскость, на которой комплексные числа изображаются как точки, называется комплексной плоскостью. Ось
называется вещественной осью, ось
называется мнимой осью. Масштабная единица оси
, т.е. комплексное число
есть вещественная единица; масштабная единица оси
, т.е. число
называется мнимой единицей, это число имеет специальное обозначение
.
По правилу умножения комплексных чисел получим: .
Таким образом, и т.д.
Комплексные числа вида: изображаются точками на оси
и являются вещественными числами (множество вещественных или действительных чисел есть подмножество множества комплексных чисел). Комплексные числа вида
изображаются точками на оси
и называются чисто мнимыми числами.
Определение.Вещественное неотрицательное число:
называют модулем комплексного числа .
Геометрически, модуль комплексного числа – это расстояние от точки, изображающей число до начала координат (или длина радиус-вектора точки).
Определение.Угол между положительным направлением оси
и вектором
называют аргументом комплексного числа
.
Этот угол определен неоднозначно, с точностью до ; его обозначают
и называют общим значением аргумента.
Главным значением аргумента комплексного числа называют значение угла , заключенное в промежутке длины
, его обозначают
. Будем считать, что
.
Общее значение аргумента и главное значение связаны соотношением: , к=0,1,-1,2,-2,….
Из определения модуля и аргумента следует, что, если , то
,
и для вычисления получаем формулы:
Справедливы следующие свойства модуля и аргумента комплексного числа:
·
(при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются);
·
(модуль частного двух комплексных чисел есть частное модулей, а аргумент – разность аргументов делимого и делителя).
Дата добавления: 2016-01-09; просмотров: 704;