Теоремы умножения вероятностей.

События A и B называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое событие. В противном случае события называются зависимыми.

Теорема 3.Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

Доказательство:

Пусть ‒общее число элементарных событий, в результате которых может произойти событие А.

‒ общее число элементарных событий, в результате которых может произойти событие B.

‒число элементарных событий, благоприятствующих событию А.

‒ число элементарных событий, благоприятствующих событию В.

Тогда событию будет благоприятствовать – элементарных событий.

Получим:

Распространим эту теорему на любое число независимых событий.

Пример 2.

Два студента сдают экзамен. Вероятность сдачи экзамена первым студентом равна . Вероятность сдачи экзамена вторым студентом равна .

Решение:

1) сдадут экзамен оба студента.

2) C ‒ сдаст экзамен только один студент.

3) D ‒ экзамен сдаст хотя бы один из двух студентов.

Второй способ решения:

экзамен не сдадут оба студента.

Пример 3.

Три стрелка производят по одному выстрелу в цель независимо друг от друга. Вероятности попадания каждого из них равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9.

Найти вероятность того, что:

1. В цель попадет только один стрелок (событие А).

2. В цель попадет только два стрелка (событие B).

3. В цель попадет хотя бы один стрелок (событие С).

Решение:

попадание в цель i‒ стрелком. i = 1, 2, 3.

3. Первый способ.

Второй способ.

не попадет ни один стрелок.