Лекция 4.ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Формула полной вероятности.

Теорема 1.Вероятность события A, вычисленная при условии осуществления одного из несовместных событий H₁,H₂,H₃,., H_n , образующих полную группу, находится по формуле:

‒ формула полной вероятности.

Где события ‒ гипотезы.

Доказательство:

Так как событие A, может произойти только с одним из несовместных событий или или , или , то

Тогда по теореме о вероятности произведения зависимых событий, получим:

Пример 1.

Партия деталей изготавливается тремя рабочими. Причем первый рабочий изготовил 25% деталей. Второй 35% деталей. Третий 40% деталей. В продукции первого рабочего брак составляет 5%. У второго рабочего брак составляет 4%.У третьего рабочего брак составляет 2%. Найти вероятность того, что случайно выбранная для контроля деталь окажется бракованной.

Решение:

деталь изготовил первый рабочий.

деталь изготовил второй рабочий.

деталь изготовил третий рабочий.

A ‒ взятая деталь бракованная.

Формула Байеса.

Пусть событие A может произойти с одним из несовместимых событий образующих полную группу, тогда

или

‒ формула Байеса.

Пример.

В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1:4:5. Телевизоры от первого, второго и третьего поставщиков не потребуют ремонта в течение гарантийного срока, в следующих 98%, 88% и 92% случаях.

Найти:

1. Вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока (событие A).

2. Вероятность того, что проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока (событие B). От какого поставщика вероятнее всего этот телевизор.

Решение:

телевизор поступил от i ‒ й фирмы. i= 1, 2, 3.