Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли.

Пусть производится серия из n-независимых испытаний (опытов), в каждом из которых событие A наступает с вероятностью р. Тогда вероятность того, что событие A не произойдет, обозначим q=1 - p.

Вероятность того, что при n-испытаниях событие произойдет ровно m-раз, находится по формуле Бернулли:

- формула Бернулли.

Пример.

Вероятность попадания мяча в кольцо составляет

Вероятность промаха мяча в кольцо составляет

Найти:

1. Вероятность того, что при 7 бросках мяч попадет 4 раза (событие A).

2. Вероятность того, что мяч попадет не менее 4-х раз, то есть или , или ,или ,или .

Решение:

Наивероятнейшее число наступлений события (число успехов).

Определение. Число наступления события A в n-независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность осуществления этого события, по крайней мере, не меньше вероятностей других событий.

Наивероятнейшее число наступления события (число успехов)удовлетворяет следующему неравенству:

где ; вероятность наступления события в отдельных испытаниях.

Пример. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали . Найти вероятности возможного числа появления бракованных деталей среди пяти отобранных и выбрать среди них наивероятнейшее число.

Решение:

1 способ.

вероятность изготовления стандартной детали.

;

вероятностьпоявления брака.

Тогда

Следовательно, наивероятнейшее число бракованных деталей .

2способ.

Оценим с помощью неравенства:

Следовательно, , множество целых чисел.