ДЛЯ КВАДРАТИЧНОЙ ОБЛАСТИ СОПРОТИВЛЕНИЯ. ФОРМУЛА ШЕЗИ. МОДУЛЬ РАСХОДА И МОДУЛЬ СКОРОСТИ

При проектировании гидротехнических сооружений обычно сталкиваются с квадратичной областью сопротивления, когда вода имеет достаточно большие скорости, при которых числа Рейнольдса получаются также достаточно большими.

(4-92)

где имеет тот же смысл, что и в предыдущем параграфе.

Очень часто при условии, когда неравенство (4-93) несколько нарушается, т. е. когда мы, строго говоря, получаем доквадратичную область сопротивления, практические расчеты все же ведут по зависимостям, относящимся к квадратичной области. Это объясняется тем, что расчет для области квадратичного сопротивления является значительно более простым, чем для области доквадратичного сопротивления. Действительно, для доквадратичной области коэффициент λ, входящий в формулу (4-69), зависит от Re, а следовательно, и от скорости v, которая часто заранее неизвестна. В связи с этим задачи для доквадратичной области обычно приходится решать путем подбора или методом последовательного приближения. В случае же области квадратичного сопротивления λ не зависит от Re, а следовательно, λмы можем найти, не зная величины v, что обычно позволяет решать задачи непосредственно, без подбора. Вместе с тем погрешность в определении величины λ, обусловленная пренебрежением влияния на нее числа Re (когда мы находимся в доквадратичной области), часто может быть значительно меньше той погрешности, которая получается за счет неточности установления величины Δ: как мы видели, шероховатость Δ приходится устанавливать по таблице, где этот параметр определяется на основании чисто описательных, качественных (а не количественных) характеристик русла.

Перечисленные обстоятельства заставляют в гидротехнической практике интересоваться главным образом областью квадратичного сопротивления; исключение здесь составляют только следующие случаи:

а) движение грунтовой воды, когда мы получаем ламинарный режим (см. гл. 17 и 18);

б) движение воды через модели сооружений (см. гл. 16);

в) редкие случаи русел большого поперечного сечения с весьма гладкими (например, стальными) стенками.

Учитывая сказанное, далее, как правило, будем иметь в виду только квадратичную область сопротивления. В настоящем параграфе применительно к этой области сопротивления рассмотрим напорное и безнапорное равномерные движения воды в цилиндрических руслах так называемого «правильного поперечного сечения» (см. начало § 4-2).

Отметим, что к «правильным руслам» относятся русла, имеющие попереч­ные сечения круглые, квадратные, прямоугольные, трапецеидальные, парабо­лические и т. п. (при условии, что смоченная поверхность этих русел имеет однородную — одинаковую шероховатость). Такие сечения, как, например, звез­дообразные (встречающиеся в практике машиностроения), характеризующиеся наличием острых углов, мы здесь не будем рассматривать.

Имея в виду только равномерное движение (см. § 3-11), также исключим из рассмотрения движение воды на начальных участках цилиндрических русел (рис. 4-21), поскольку для этих участков эпюры скоростей в живых сечениях имеют особый вид, отличный от вида, свойственного равномерному потоку (следовательно, для этих участков и закон сопротивления движению воды будет иной).

1°. Формула Шези.Перепишем зависимость (4-69) в – виде

(4-94)

или в виде

(4-95)

где v — средняя скорость в данном живом сечении; R — гидравлический радиус; J — пьезометрический уклон, равный в рассматриваемом случае равномерного движения гидравлическому уклону [см. (3-109) и (3-110)].

Формула (4-95) называется формулой Шези. Она имеет очень большое значение в практике. Коэффициент С (общепринятое обозначение), входящий в (4-95), называется коэффициентом Шези.

Сопоставляя (4-94) и (4-95), видим, что

(4-96)

а следовательно,

(4-97)

Формулы (4-96) и (4-97) связывают коэффициент гидравлического трения λ. и коэффициент Шези С. Как видно, зная λ, легко найти С. Поскольку λ является безразмерным коэффициентом, то коэффициент Шези, как видно из (4-96), имеет размерность. Размерность С равна корню квадратному из размерности ускорения.

Так как λ для квадратичной области сопротивлений зависит только от относительной шероховатости стенок русла и не зависит от числа Рейнольдса, а следовательно, и от рода жидкости, движущейся в русле, то в отношении С мы можем сказать то же самое: С зависит от относительной шероховатости стенок русла и не зависит от скорости движения v и вязкости жидкости, т. е. от коэффициента v (разумеется, если формулу Шези мы будем распространять и на область доквадратичного сопротивления, то в пределах этой области величина С окажется зависящей от Re).

В практике обычно величину С принято определять по специальным формулам (см. ниже § 4-13); вообще же говоря, значение С для случая круглых и прямоугольных труб можно находить и по формуле (4-96).

Надо учитывать, что формула Шези (4-95), строго говоря, может использоваться только для квадратичной области сопротивления в случае установившегося равномерного движения жидкости в руслах так называемого «правильного» поперечного сечения (см. выше).

2°. Зависимости, вытекающие из формулы Шези.Исходя из формулы (4-95), можно получить следующие практически важные расчетные зависимости:

(4-98)

(4-99)

(4-100)

где l – длинна потока.

3°. Модуль расхода К. Введем обозначение

(I) (4-101)

при этом формула (4-100) перепишется в виде

(4-102)

(II) (4-103)

Как видно, модуль расхода К имеет два выражения: (I) и (II). Из (4-102) следует, что К представляет собой расход Q при J = 1,0. Из этой же формулы видно, что размерность величины К та же, что и расхода Q (поскольку J = h_l: l — величина безразмерная).

Из формулы (4-103) получаем:

(4-104)

а следовательно,

(4-105)

4°. Модуль скорости W. Введем обозначение

(I) (4-106)

при этом формула (4-95) перепишется в виде

(4-107)

и, следовательно, для равномерного движения

(II) (4-108)

Как видно, модуль скорости W имеет два выражения: (I) и (II). Из (4-107) следует, что W представляет собой скорость v при J = 1,0. Размерность W та же, что и v.

Из (4-108) получаем:

, (4-109)

а следовательно,

(4-110)

Понятиями модуля расхода К и модуля скорости W широко пользуются при практических расчетах труб и каналов.

5°. Эмпирические формулы для определения коэффициента Шези С.Решим уравнение Шези (4-95) в отношении С:

(4-111)

Наблюдая какой-либо водоток и замеряя в натуре величины v, R и J, можем по формуле (4-111)вычислить С для рассматриваемого водотока.

Многие исследователи проводили подобного рода измерения, и в результате было предложено много различных эмпирических формул для С. Эти формулы дают, конечно, разную величину С для данного конкретного случая. Такое положение объясняется приближенностью упомянутых эмпирических формул.

Таблица 4-3

Коэффициент шероховатости п для различных водотоков (для размеров в метрах и секундах)

Примечание. Значения п, обычно рекомендуемые для проектирования, набраны в таблице жирным шрифтом Эмпирические формулы для С, в которые входит и, были приведены в тексте книги для размеров в метрах и секундах.

Если, однако, отбросить устаревшие формулы для С и пользоваться более совершенными, то оказывается, что расхождение между величинами С, найденными по этим формулам для данного конкретного случая, не столь велико.

Приведем здесь только следующие формулы для С (размеры в метрах и секундах).

1. Так называемая сокращенная формула Гангилье — Куттера:

(4-112)

где n-коэффициент шероховатости стенок русла (имеющий размерность).

Гангилье и Куттер составили краткую таблицу численных значений n для стенок русла разной шероховатости. В табл. 4-3 приводим уточненные значения n, заимствованные из [4-9].

Таблици 4-4

Значения коэффициента С по формуле Маниинга (метры и секунды)

2. Формула Маннинга:

(4-113)

3. Формула Павловского, полученная для случая, когда R < (3,0 ÷ 5,0):

(4-114)

где

(4-115)

причем для у дается относительно сложная эмпирическая формула (здесь не приводимая).

4. Формула[30] Бахметева и Федорова:

(4-116)

В формулы (4-113)— (4-116) входит коэффициент шероховатости, который назначается по шкале Гангилье и Куттера (табл. 4-3).

Практически вычислять С по этим формулам почти никогда не приходится, так как применительно к ним составлены соответствующие расчетные таблицы и графики. Например, применительно к формуле Павловского составлен график на рис. 4-26. Применительно к наиболее удобной формуле Маннинга — табл. 4-4. Установив по табл. 4-3 значение п, относящееся к данному конкретному случаю, и определив гидравлический радиус, мы по упомянутому графику или табл. 4-4 легко можем найти С. Надо подчеркнуть, что все приведенные эмпирические и полуэмпирические формулы для С (относящиеся к равномерному установившемуся движению жидкости) являются приближенными, причем значения и, входящие в них, приходится устанавливать по табл. 4-3 на основании чисто описательных (а не количественных) характеристик русла (так же как и значения Δ; см. выше). Поэтому при выборе для расчета той или другой из приведенных формул главным образом обращают внимание на простоту определения С по принятой формуле.[31] С этой точки зрения непосредственное применение в расчете формулы Павловского не может быть оправдано: эта формула, являясь весьма сложной, включает в себя, вместе с тем, весьма приближенный параметр п.

Как видно, в рассматриваемой области существует два разного вида оформления расчета: а) расчет с использованием величин Δ и λ и б) расчет с использованием коэффициента п. Заметим, что во всяком случае при расчете земляных каналов и естественных русел, должен использоваться второй вид расчета (с применением коэффициента п, в отношении которого мы имеем значительно более обширные экспериментальные данные, чем в отношении величины Δ).[32]

В литературе встречаются также формулы для С, относящиеся к области доквадратичного сопротивления. К числу таких формул принадлежит, например, так называемая полная формула Гангилье — Куттера; согласно этой формуле, которая имеет относительно сложный вид и рекомендуется ее авторами для применения в случае J < 0,005, величина С оказывается зависящей не только от R и п, но и от J.

А. Д. Альтшуль, используя некоторые полуэмпирические зависимости, предложил для открытых русел так называемую обобщенную формулу, действительную для квадратичной и для доквадратичной областей сопротивления, а также для области гладких русел:

(4-117)

где R - в м; С - в м^1/2/с

Эта зависимость при больших RJ (квадратичная область) оказывается аналогичной формуле Маннинга; при малых же RJ и малых значениях коэффициента п (гладкие русла) она дает результаты, близкие к тем, которые получаются по так называемой формуле Блазиуса. Значения коэффициента п, входящего в (4-117), можно брать из табл. 4-3.