РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОСРЕДНЕННЫХ СКОРОСТЕЙ

ПО ЖИВОМУ СЕЧЕНИЮ ПОТОКА ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ РАВНОМЕРНОМ УСТАНОВИВШЕМСЯ ДВИЖЕНИИ.

ВЯЗКИЙ ПОДСЛОЙ. ГЛАДКИЕ И ШЕРОХОВАТЫЕ ТРУБЫ.

ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

1°. Общий характер распределения осредненных скоростей по живому сечению потока при турбулентном движении. Вязкий подслой.Представим на рис. 4-15 эпюру осредненных скоростей для живого сечения АВ. Как показывает опыт, эта эпюра характеризуется следующим:

Рис. 4-15. Эпюра скоростей (осредненных) при турбулентном движении; 𝛿 — толщина вязкого подслоя

1) вблизи стенок скорость u вдоль линии ВА резко увеличивается, т. е. в этом месте имеет большую величину;

2) на некотором удалении от стенки и изменяется относительно мало; в этом месте имеет относительно малую величину.

При помощи подкрашивания движущейся жидкости можно убедиться в том, что жидкость из центральной части потока переносится к боковым границам потока; наоборот, жидкость от границ потока (с низшим содержанием кинетической энергии) переносится к центру потока. Именно в результате такого турбулентного перемешивания распределение скоростей по живому сечению в средней части потока оказывается при турбулентном движении значительно более равномерным, чем при ламинарном.

Если в случае ламинарного напорного движения в круглой трубе = 0,5 (где — скорость по оси трубы), то в случае турбулентного движения в такой трубе обычно, как показывает опыт, = 0,70 ÷ 0,90 (с увеличением числа Рейнольдса Re это отношение увеличивается; оно зависит также от шероховатости стенок русла).

Согласно исследованиям Л. Прандтля в турбулентном потоке скорость движения жидких частиц непосредственно у стенки равна нулю. В соответствии с этим принято считать, что вблизи стенок русла имеется тонкий слой жидкости толщиной 𝛿, где скорости столь малы, что в пределах этого слоя получается движение жидкости, близкое к ламинарному. Этот слой называется вязким (иногда «ламинарным») подслоем. Толщина его мала

Рис. 4-16. Гладкие (а) и шероховатые (б) русла

(составляет, например, сотые или тысячные доли глубины потока или диаметра трубопровода; на рис. 4-15 толщина ламинарного подслоя преувеличена — показана не в масштабе). Между так называемым турбулентным ядром потока и вязким подслоем имеется тонкий переходной участок, в пределах которого пульсации скоростей резко снижаются.

2°. Гидравлически гладкие и шероховатые трубы. На рис. 4-16 обозначены: Δ - высота выступов шероховатости стенки русла и 𝛿 — толщина вязкого подслоя.

При наличии схемы а выступы шероховатости покрываются (сглаживаются) вязким подслоем (𝛿 > Δ), причем получаем так называемые гладкие стенки (иногда говорят «гидравлически гладкие» стенки). В этом случае потери напора по длине оказываются не зависящими от шероховатости стенок русла.

При наличии схемы б выступы шероховатости не покрываются полностью вязким подслоем (𝛿 < Δ); эти выступы «вклиниваются» (как отдельные «бугорки») в турбулентную зону, и о них могут «ударяться» жидкие частицы турбулентного ядра потока[19]. В этом случае потери напора по длине , зависят от шероховатости стенок русла.

Особыми исследованиями было установлено, что толщина вязкого подслоя 𝛿 уменьшается с увеличением числа Рейнольдса. Отсюда ясно, что понятия гладкой и шероховатой стенок являются понятиями относительными: одна и та же стенка в одних условиях (при малых Re) может быть «гладкой», в других же условиях (при больших Re) может быть «шероховатой».

3°. Зависимости для построения эпюры осредненных скоростей в случае напорных круглых труб при турбулентном движении. Вопросу о распределении осредненных скоростей по живому сечению турбулентного потока посвящено большое количество теоретических и экспериментальных работ.

Рассмотрим для примера круглоцилиндрическую трубу (см. рис. 4-6).

Для того чтобы получить уравнение кривой АСВ, ограничивающей эпюру осредненных продольных скоростей, выписываем, как и в случае ламинарного движения (см. § 4-4), два разных выражения для касательного напряжения (см. продольный центральный «жидкий столб» на рис. 4-6):

1) уравнение равномерного движения (4-18) в виде

2) уравнение для турбулентного касательного напряжения (4-55)

Решая эту систему уравнений, так же как и в случае ламинарного движения, получаем [см. уравнение (4-31)]

(4-60)

Интегрируя это уравнение, имеем

(4-61)

где определяется соотношением (4-56).

В случае ламинарного движения, получив выражение, аналогичное (4-61), имели возможность вынести за интеграл величину η (как величину постоянную для данной жидкости). При этом уравнение (4-61) легко решалось. В случае турбулентного движения величина зависит от обстоятельств движения, которые различны для разных величин r. Поэтому для турбулентного движения уравнение (4-61) может быть решено только приближенно в результате использования дополнительных допущений и гипотез. Такая задача была решена Л. Прандтлем, причем им был получен логарифмический закон распределения скоростей по живому сечению круглоцилиндрической напорной трубы. Эту же задачу решали и другие исследователи (Карман, Тейлор, А. Н. Патрашев и др.).

Зависимость Прандтля для гладких труб после введения в нее некоторых эмпирических коэффициентов, найденных И. Никурадзе, имеет вид:

(4-62)

где — радиус трубы; — расстояние от центра живого сечения до точки, где

определяется скорость u; особое обозначение. Зависимость, аналогичная (4-62), была предложена Л. Прандтлем и для шероховатых труб.

Величину , имеющую размерность скорости, называют скоростью трения или «динамической скоростью»; величину можно найти, исходя из основного уравнения равномерного движения (4-15):

откуда

(4-63)

где гидравлический радиус R = D/4.

Полученные для круглоцилиндрических напорных труб полуэмпирические уравнения кривой ABC (рис. 4-17) не лишены некоторых недостатков; они не всегда удовлетворяют пограничным условиям: при r=r₀ иногда дают скорость (непосредственно на стенке — в самой близи стенки, где имеется ламинарный подслой) u = -∞; по зависимости Прандтля величина градиента скорости на оси трубы оказывается не равной нулю, что не соответствует

действительности. Вместе с тем эти формулы дают достаточно хорошее совпадение с опытами для основной части ядра потока.

Рис. 4-17. Распределение осреднённых скоростей в круглой трубе при турбулентном движении

Рис. 4-18. Экспериментальный график для величины m в формуле (4-64)

Практически более удобными являются приближенные формулы, выражающие закон распределения скоростей в виде степенных функций.

Карман (в 1921 г.) на основании теоретических исследований предложил записывать этот закон для гладких труб в виде:[20]

_, (4-64)

где — радиус трубы; — расстояние от центра живого сечения до точки, где измеряется скорость ;m — знаменатель показателя степени, зависящий от числа Рейнольдса (рис. 4-18); — максимальная скорость (на оси трубы); об см. § 4-8, .

А. Д. Альтшуль в 1956 г. показал, что зависимость (4-64) действительна не только для гладких, но и для шероховатых труб (т. е. для всей области турбулентного движения), если величину показателя будем находить по формуле (о коэффициенте λ см. ниже § 4-9):[21]

_, (4-65)

4°. Пристенный пограничный слой. Покажем на рис. 4-19 неподвижную горизонтальную пластинку АВ достаточной длины. Далее, рассматривая плоскую задачу, будем считать, что на эту пластинку слева «набегает» горизонтальный поток реальной жидкости, причем эпюра скоростей, построенная для этого потока в вертикальном его сечении О — О (см. рисунок) характеризуется величинами u = const по всей высоте сечения О — О.

Рис. 4-19. Пристенные пограничные слои толщиной z₀ (возникающие у неподвижной пластинки АВ; см. верхнюю и нижнюю области CAB)

Очевидно, реальная жидкость, набегая на пластинку АВ, получает, например, на верхней поверхности этой пластинки[22] касательные напряжения трения (подтормаживающее движение жидкости), причем непосредственно на данной поверхности пластинки скорость u оказывается равной нулю.

Рассматривая некоторое вертикальное сечение, например, сечение III-III, видим, что в связи с упомянутым подтормаживающим действием пластинки АВ, эпюра скоростей u в данном сечении будет ограничена кривой abed[23]. При этом в пределах участка высотой (см. рисунок, участок живого сечения аm₃) скорость u для сечения III-III будет изменяться существенно; за пределами же этого участка скорость u будет изменяться пренебрежимо мало, а следовательно, в этой области мы будем иметь (для сечения III-III)

Аналогичная картина будет и в других вертикальных сечениях, например, в сечениях I-I и II-II (см. рисунок). Однако величины для всех этих сечений будут различны:

В связи со сказанным, можно наметить некоторую линию АС, выделяющую у стенки слой жидкости, характеризуемый следующим:

1)высота (толщина) этого слоя z0 по течению увеличивается;

2) в пределах его величины и τ существенно отличаются от нуля;

Рис. 4-20. Развитие пристенного пограничного слоя в начале канала

3) за пределами его величины du/dn и τ изменяются (в соответствующих вертикальных сечениях) пренебрежимо мало, и следовательно, за указанными пределами вязкость жидкости можно не учитывать и считать жидкость как бы идеальной,[24] а движение жидкости потенциальным.

Условимся пристенный слой, характеризуемый тремя отмеченными обстоятельствами, называть «пристенным пограничным слоем».

Рис. 4-21. Развитие пристенного пограничного слоя на начальном участке круглой напорной трубы (пограничный слой показан штриховкой); правее вертикали А₂-А₂, пограничный слой отсутствует

На рис. 4-20, заимствованном из [4-9], дана схема поступления жидкости из большого водоема в канал. На этой схеме показаны: ламинарная часть А пограничного слоя, турбулентная часть Б₁ пограничного слоя и, наконец, область В, характеризуемая столь малыми значениями du/dn, что величиной трения в этой области можно пренебречь. Зону В можем рассматривать как область идеальной жидкости и считать, что в ней имеется потенциальное безвихревое движение (см. § 3-4 и 3-5). Трактуя понятие пристенного пограничного слоя несколько иначе, чем то было пояснено нами выше, автор данной схемы область Б₂ называет «вполне развитым пограничным слоем»» (хотя эта область не удовлетворяет 1-му и 3-му условиям, отмеченным выше).

5°. Развитие пограничного слоя в напорной трубе. «Начальный участок» потока.Если на рис. 4-21 представить поступление реальной жидкости из какого-либо сосуда в круглую трубу, имеющую весьма плавный вход, то в начальном состоянии А₁А₁ трубы будем иметь почти равномерную эпюру скоростей и. Далее на длине l₁ (до сечения А₂А₂) благодаря подтормаживающему действию напряжений трения τ₀ (действующих со стороны стенок трубы на жидкость) толщина z₀ пограничного слоя начинает увеличиваться по длине грубы (см. рисунок, на котором штриховкой показан пограничный слой, развивающийся в круглой трубе). В сечении А₂А₂ происходит «смыкание» рассматриваемого пограничного слоя (в точке b). Между верхней и нижней частями пограничного слоя на длине l₁ показана незаштрихованная область a₁ — b — а₂; внутри этой области имеем потенциальное движение жидкости: в любом вертикальном сечении этой области скорости и = const (однако, по течению эти скорости увеличиваются).

Рис. 4-22. Эпюры скоростей в конце начального участка: а — ламинарный режим, б —турбулентный режим

Рассматривая рис. 4-21, следует различать помимо участка, где располагается пограничный слой, еще участок потока длиной l₂ (между сечениями А₂А₂ и А₃А₃). В пределах этого участка происходит:

а) переформирование эпюры скоростей и, получившейся в сечении А₂А₂, в эпюру скоростей (показанную в сечении А₃А₃), свойственную равномерному движению;

б) изменение уровня пульсации скоростей до уровня, свойственного равномерному движению.

«Начальным участком» трубопровода следует называть участок длиной
l_n — li + 1₂; на длине этого участка мы имеем неравномерное движение. Важно подчеркнуть, что приводимые ниже расчетные зависимости, служащие для определения потерь напора h_h не могут быть, строго говоря, приемлемы для начального участка, где мы не имеем равномерного движения.

Выше мы говорили о турбулентном движении; надо учитывать, что аналогичный участок («начальный участок») должен иметь место и при ламинарном режиме.

Длина начального участка l_n для круглых труб (согласно эксперименталь­ным данным) может быть принята (для турбулентного движения)

(4-66)

На рис. 4-22 представлены эпюры, сформировавшиеся в конце начальною участка (в сечении А₃А₃) при ламинарном и при турбулентном движении. Как видно, максимальная толщина пограничного пристенного слоя в напорной круглой трубе (имеющая место в сечении А₃А₃) равна половине диаметра трубы.