Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теоремы сложения вероятностей.

Теорема 1.Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

P (А+В) = P (А) + P (В)

Доказательство:

Пусть n‒общее число элементарных событий, в результате которых может произойти событие A или B. Пусть m‒число элементарных событий , благоприятствующих событию А, k‒число элементарных событий, благоприятствующих событию В.

Тогда событию A+B будет благоприятствовать (m+k) – элементарных событий.

Получим

Следствие 1 .Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Доказательство:

Следствие 2.Сумма вероятностей случайных событий, образующих полную группу, равна единице.

Распространим теорему 1 на любое число попарно несовместных событий.

Получим:

Теорема 2.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного осуществления.

Доказательство:

Пусть n ‒ общее число элементарных событий, m ‒ число элементарных событий, благоприятствующих событию А, k ‒ число элементарных событий, благоприятствующих событию В.

Пусть среди (m+k) ‒ элементарных событий имеется l‒событий , благоприятствующих и событиюA и B одновременно.

Тогда событию A+B будет благоприятствовать (m+k‒ l) элементарных событий.

Следовательно, получим:

Пример 1.

Из колоды 36 карт, на удачу, достается одна.

Найти вероятность того, что вынутая карта или туз, или пиковой масти.

Решение:

Событие A ‒ вынутая карта туз.

Событие B ‒ вынутая карта пиковой масти.

A+B ‒ вынутая карта или туз, или пиковой масти, или пиковый туз.