ГИДРОМЕХАНИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ТЕОРЕМЫ ОСТРОГРАДСКОГО - ГАУССА
Зафиксируем неподвижную в пространстве контрольную поверхность А, ограничивающую контрольный объём V. Сквозь эту поверхность протекает жидкость со скоростью . Выделим на ней элементарную площадку dА. Единичный вектор нормали к площадке . Если воспользоваться ортами i, j, k , то
.
Обозначим модуль скорости ; по определению . Скалярное произведение двух векторов можно выразить через их проекции:
, (3.4.1)
а также через модули векторов и угол между ними,
(3.4.2)
где un -нормальная к поверхности dА составляющая скорости.
Таким образом,
. (3.4.3)
Используя (3.4.3), запишем объёмный расход жидкости Q через поверхность dА:
. (3.4.4)
Согласно теореме Остроградского - Гаусса имеем
. (3.4.5)
Рис. 3.8. Определение расхода жидкости сквозь поверхность элементарного параллелепипеда |
Доказательство этой зависимости проведём на основе гидромеханических представлений.
Зафиксируем в пространстве параллелепипед с бесконечно малыми рёбрами dx, dy, dz , поверхностью DiА и объёмом DiV = dxdydz.
На каждой грани параллелепипеда значение un вследствие её малости постоянно и равно проекции скорости на координатную ось, к которой эта грань нормальна.
Пусть проекции скорости имеют направления, указанные на рисунке. Расход жидкости , протекающий сквозь поверхность DiА, определим как разность между объёмом жидкости, вытекающей из параллелепипеда в единицу времени:
и объём жидкости, втекающей в него за то же самое время:
.
В результате имеем
или
, (3.4.6)
где div u - дивергенция вектора скорости, которая определяет собой скалярную величину, определяемую равенством
. (3.4.7)
Если жидкость несжимаемая, то из закона сохранения массы следует, что объём жидкости, втекающей в элементарный объём DiV равен объёму жидкости, вытекающей из него, так что
. (3.4.8)
Поскольку объём не может быть равным 0, из уравнения (3.4. 6)следует, что в случае несжимаемой жидкости
div u = 0. (3.4.9)
Уравнение (2.4.9) называют уравнением несжимаемости жидкости. Оно справедливо в случае неустановившегося движения жидкости, когда для каждого момента времени и в каждой точке потока.
Чтобы обобщить равенство (3.4.6) для произвольного объёма V , ограниченного произвольной поверхностью А (рис.3.9.) разобьём V на элементарные параллелепипеды. Для каждого из них можно записать равенство (3.4. 6).
Рис.3.9. Определение расхода сквозь произвольную контрольную поверхность |
Складывая все эти равенства, можно заметить, что в левой части каждый из интегралов по поверхности DiА состоит из шести слагаемых по числу граней параллелепипедов. При этом все слагаемые, которые относятся к поверхностям, разделяющим параллелепипеды, взаимно уничтожаются, так как каждая такая поверхность входит в поверхностные интегралы для двух соседних параллелепипедов, и тот объём жидкости, который вытекает из одного параллелепипеда, втекает в другой. Останутся только те части от интегралов , которые относятся к тем граням элементарных параллелепипедов, которые совпадают с контрольной поверхностью А. Следовательно, в левой части сумма интегралов, относящихся ко всем параллелепипедам, будет равна
. (3.4.10)
В правой части суммы всех уравнений (3.4. 6) по определению интеграла как предела суммы бесконечно малых слагаемых имеем
(3.4.11)
Таким образом, для объёма V произвольной формы справедливо равенство
(3.4.12)
Представив , получим
,
что и составляет содержание теоремы Гаусса - Остроградского.
Дата добавления: 2016-01-09; просмотров: 989;