Алгоритмы метода Гаусса
Пусть дана система из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:
(1)
Решением системы (1) называется упорядоченное множество чисел ξ, если подстановка превращает уравнения (1) в равенства .
Общая схема метода Гаусса для систем, имеющих единственное решение
Пусть . (В противном случае в качестве первого уравнения возьмем какое-либо другое). Разделим первое уравнение на .
Получим
, (2)
где ; ,
Умножим разрешающее уравнение (2) на и вычтем полученное уравнение из второго уравнения системы (1). Аналогично преобразуем остальные уравнения. Система примет вид
(3)
где
Если какой-либо из коэффициентов окажется равным нулю, то j-ое уравнение системы (1) войдет в систему (3) без изменений т.е.
(То есть если в какой-либо из уравнений отсутствовала переменная , то уравнение не преобразуется). Теперь, оставив без изменения первое уравнение системы (5), сделаем разрешающим второе уравнение и применим описанную процедуру к системе из n-1 уравнений, исключая из оставшихся уравнений. Получим систему
где
Продолжая аналогичные вычисления, приведем систему (1) к эквивалентной системе с треугольной матрицей коэффициентов
(4)
Прямой ход решения выполнен.
Обратный ход:
a) последовательно исключаем неизвестное , начиная с уравнения и заканчивая первым. Получаем
(5)
Затем исключаем неизвестное из уравнений с номером j
и т.д.
В результате получаем решение системы.
Алгоритм Гаусса относится к классу «точных алгоритмов», поскольку можно определить число шагов, необходимых для решения системы линейных уравнений: 2n -1 шаг. Однако числа – приближенные, в силу чего решение задачи также приближенное, а, стало бытьЮ содержит погрешность. При делении на малые помодулю числа погрешность резко возрастает. Для уменьшения этой погрешности применяются модифицированные алгоритмы Гаусса:
- алгоритмы с поиском максимального по модулю элемента по столбцам;
- алгоритмы с поиском максимального по модулю элемента по всей матрице коэффициентов.
При выполнении процедуры прямого хода возможны следующие случаи:
1. матрица А приводится к треугольной (получаю решение).
2. число преобразованных уравнений системы меньше числа неизвестных (ранг матрицы А< n) – Это происходит, если в системе получаются в процессе преобразований тождества 0=0. Система имеет бесконечное множество решений.
3. все коэффициенты при неизвестных в каком-либо уравнении равны нулю, свободный член отличен от нуля. Система не имеет решения.
В случае 3) решение системы может быть найдено приближенно с использованием статистических методов (метод наименьших квадратов (МНК), минимизируюший сумму квадратов «невязок»). МНК широко применяется при обработке измерительной информации.
Случай 2) соответствует недоопределенным системам (системам с неполной матрицей наблюдений), когда число уравнений меньше числа неизвестных. Этот случай весьма часто встречается при анализе технических систем и заслуживает особого рассмотрения.
Задача обработки данных, получаемых в различных технических системах, сводится к нахождению оценок параметров системы, представляющих интерес для исследователя, по имеющимся результатам наблюдений. Пусть
- вектор параметров (будем называть его вектором состояния системы) в момент tj. Z = [z1, z2, …zn]T - вектор наблюдений, зависящий от вектора Y, т.е.
(6)
В общем случае зависимость Zот Y – нелинейная, и размерности векторов Zи Yне совпадают. Существуют технические системы, в которых результаты наблюдений являются линейными функциями вектора состояния. Для нелинейных систем зачастую можно применить процедуру линеаризации. При этом уравнение (6) принимает вид
,(7)
где А – матрица наблюдений.
При равной размерности векторов Zи Y(m = n) и ранге матрицы А , равном n , имеет единственное решение
(8)
где A-1– обратная матрица.
Чаще всего имеет место неравенство n > m, т.е. число наблюдений больше числа оцениваемых параметров. В этом случае система линейных уравнений (7) может оказаться несовместной. На самом деле эта несовместность – кажущаяся, т.к. в уравнениях (6) и (7) не учтены погрешности наблюдений – вектор ε , имеющий размерность n. Оценки метода наименьших квадратов – МНК – оценки, минимизирующие сумму квадратов « невязок »εi
(9)
находятся из уравнения [1]
(10)
Если ранг матрицы А меньше n , обратной матрицы не существует. В таком случае МНК – оценка вектора Y находится с помощью псевдообратной матрицы А+ [2]
(11)
Системы с подобной матрицей – неполной матрицей наблюдений – называют недоопределенными. К таким системам относятся измерительные системы групповых эталонов физических величин, например, эталонов времени и частоты
Дата добавления: 2016-02-09; просмотров: 1560;