Закон больших чисел и предельные теоремы

Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому, по формулировке академика Колмогорова, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая. Или иначе: При большом числе случайных величин их средней результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.

 

Неравенство Чебышева: для любой случайной величины, имеющей математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X) справедливо:

,(4.1)

или

,(4.2)

Если формула (6.1) устанавливает верхнюю границу рассматриваемого события, то (4.2) – нижнюю границу вероятности события, состоящего в том, что отклонения значения случайной величины от математического ожидания не превысит (не будет менее) величины , где – достаточно малая величина.

В приложении к выборочному методу неравенство Чебышева может быть сформулировано так: при неограниченном увеличении числа наблюдений ( ) в генеральной совокупности с ограниченной дисперсией с вероятностью близкой к единице можно ожидать, что отклонение выборочной средней ( ) от генеральной средней будет сколь угодно мало: при . Эту вероятность в теореме А.М. Ляпунова (1901г.) используют для определения ошибки наблюдений.

, (4.3)

где - нормированная формула Лапласса.

– средняя квадратическая или стандартная ошибка выборки.

. (4.4)

Пусть надо измерить некоторою величину, истинное значение которой равно a. Пусть результат каждого измерения – случайная величина Xi(i=1,2,…,n). Если при измерениях отсутствует систематические погрешности, то M(Xi)=a при любом i. Тогда средняя арифметическая результатов и измерений сходится по вероятности к истинному значению a.

(4.5)

Дисперсия средней случайной величины Xi равна

(4.6)

Среднее квадратическое отклонение ошибок выборки

, (4.7)

. (4.8).

Зная выборочную среднюю и предельную ошибку выборки можно определить границы, в которых размещена генеральная средняя .

 

Величина средней квадратической ошибки простой случайной повторной выборки может быть определена по формуле:

, (4.9)

т.е. чем больше вариация признака в генеральной совокупности, тем больше ошибка выборки.

Величину называют предельной ошибкой для определения значения вероятности. Если требуется оценить среднюю генеральной совокупности с вероятностью 0,9545, то надо получить значение выборочной средней из соотношения (функция Лапласа).

Для выборки объема предельная ошибка может быть определена из соотношения .

t 1,00 1,96 2,00 2,58 3,00
F(t) 0,683 0,9500 0,9545 0,9901 0,9973

 

– это предел возможной ошибки (правило «трех сигм»).

 

Формула предельной ошибки выборки используется не только для оценки пределов, в которых находится изучаемый признак в генеральной совокупности, но и для определения необходимого объема выборки при заданной ее ошибке. Третий тип задач, которые могут быть решены с использованием предельной ошибки выборки, – это определение вероятности, с которой можно гарантировать, что ошибка выборки не выйдет за заданные пределы.

Величина дисперсии генеральной совокупности принципиально не известна и можно говорить лишь о ее оценке по результатам одной выборки.

–для простой случайной выборки.

При , поправка становится 3,5% (30/(30-1)), поэтому ею можно пренебречь.









Дата добавления: 2015-11-28; просмотров: 974;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.006 сек.