Бином Ньютона и его свойства.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМБИНАТОРИКИ.

n – факториал ‒ произведение первых n ‒ натуральных чисел(обозначается n!).

Основными понятиями комбинаторики являются ‒ размещения, перестановки и сочетания.

Определение 1.Пусть имеется множество, содержащее n‒элементов.

Размещением из n ‒ элементов по m ‒ элементов (m≤n) ‒ называются все подмножества, содержащие m ‒ элементов и отличающиеся друг от друга или составом своих элементов или порядком их следования.

‒ число размещений из n ‒ элементов по m ‒ элементов.

Определение 2.Перестановками из n ‒ элементов называются размещения из n ‒ элементов по n ‒ элементов.

–число перестановок из n ‒ элементов.

Определение 3.Сочетаниями из n ‒ элементов по m ‒ элементов(m≤n) называются все m‒ элементные подмножества n ‒ элементного множества, отличающиеся друг от друга только составом своих элементов.

‒ число сочетаний из n ‒ элементов по m ‒ элементов.

Свойства сочетаний:

1.

Доказательство:

Так как

Следовательно,

Примеры:

2.

Доказательство:

Примеры:

3.

Доказательство:

Примеры:

Бином Ньютона и его свойства.

Воспользуемся формулами:

= +2ab+ = +

= =

Используя принцип математической индукции(от частных примеров к общей формуле) получим формулу Ньютона:

=

Или кратко:

– формула Ньютона для степени бинома или бином Ньютона.

Свойства:

1. Формула содержит (n+1)‒ слагаемое.

2. Показатель степени a‒ убывает от n до 0; Показатель степени b – возрастает от 0 до n.

3. Любой член разложения можно найти по формуле:

.

4. Коэффициенты называются – биноминальными. Биноминальные коэффициенты, равноудаленные от концов разложения, равны между собой.

5. Сумма всех биноминальных коэффициентов находятся по формуле:

Доказательство:

Пусть a=b= 1.

Тогда

Примеры на формулу Ньютона и ее свойства:

Пример 1.

Где

Следовательно,

Пример 2.

Найти: .

Решение:

В комбинаторных задачах удобно пользоваться следующей таблицей:

Выбор	Сочетания	Размещение	Перестановка
Без повторения
С повторением