Вектор. Основные свойства.

Определение. Вектор – Упорядоченную совокупность n вещественных чисел называютn-мерным вектором, а числа - компонентами, или координатами, вектора.

Пример 1.1. Если, например, некоторый автомобильный завод должен выпустить в смену 50 легковых автомобилей, 100 грузовых, 10 автобусов, 50 комплектов запчастей для легковых автомобилей и 150 комплектов для грузовых автомобилей и автобусов, то производственную программу этого завода можно записать в виде вектора (50, 100, 10, 50, 150), имеющего пять компонент.

Обозначения. Векторы обозначают жирными строчными буквами или буквами с чертой или стрелкой наверху, например,aили `a. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковое число компонент и их соответствующие компоненты равны.

Компоненты вектора нельзя менять местами, например, (3, 2, 5, 0, 1) ¹
¹ (2, 3, 5, 0, 1).

Операции над векторами. Произведением вектора на действительное число l называется вектор

Суммой векторов и называется вектор .

Пространство векторов. N-мерное векторное пространство Rⁿ определяется как множество всех n-мерных векторов, для которых определены операции умножения на действительные числа и сложение.

Линейная независимость. Система n-мерных векторов называется линейно зависимой, если найдутся такие числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство ; в противном случае данная система векторов называется линейно независимой, то есть указанное равенство возможно лишь в случае, когда все . Геометрический смысл линейной зависимости векторов в R³, интерпретируемых как направленные отрезки, поясняют следующие теоремы.

Теорема 1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

Теорема 2. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Теорема 3. Для того, чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Левая и правая тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. B противном случае - левая тройка. Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Базис и координаты. Тройка некомпланарных векторов вR³ называется базисом, а сами векторы - базисными. Любой вектор может быть единственным образом разложен по базисным векторам, то есть представлен в виде

(1.1)

числа в разложении (1.1) называются координатами вектора в базисе и обозначаются .

Ортонормированный базис. Если векторы попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным, а координаты - прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать .

Будем предполагать, что в пространстве R³ выбрана правая система декартовых прямоугольных координат .

Пример 1.2.Найдите угол между векторами и , где и -единичные векторы и угол между и равен 120^о.

Решение. Имеем: , ,

, значит

, значит

Окончательно имеем: .

Пример 1.3.Зная векторы и , вычислите площадь треугольника ABC.

Решение. Обозначая площадь треугольника ABC через S, получим:

. Тогда , ,

Пример 1.4. Даны два вектора и . Найдите единичный вектор , ортогональный векторам и и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов , , была правой.

Решение. Обозначим координаты вектора относительно данного правого ортонормированного базиса через .

Поскольку , , то , . По условию задачи требуется, чтобы и .

Имеем систему уравнений для нахождения :

Из первого и второго уравнений системы получим , . Подставляя и в третье уравнение, будем иметь: , откуда . Используя условие , получим неравенство

или

С учетом выражений для и перепишем полученное неравенство в виде: , откуда следует, что . Итак, , , .