Плоскость в пространстве

Всякое уравнение первой степени относительно координат

(3.1)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.

Вектор , ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

1. ‑ плоскость проходит через начало координат.

2. ‑ плоскость параллельна оси Oz.

3. ‑ плоскость проходит через ось Oz.

4. ‑ плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: .

Пример 1.15. Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

Решение. По условию задачи вектор является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде . Подставив координаты точки , принадлежащей плоскости, найдем D: . Итак, .

Пример 1.16. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и образующей с плоскостью угол 60^о.

Решение. Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнением , где А и В одновременно не обращаются в нуль. Пусть В не равно 0, . По формуле косинуса угла между двумя плоскостями

, где .

Решая квадратное уравнение , находим его корни , , откуда получаем две плоскости и .