Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм, их множества истинности

В математике рассматривают не только конъюнкцию и дизъюнкцию высказываний, но и выполняют соответствующие операции над высказывательными формами (предикатами).

Пусть на множестве Х заданы две высказывательные формы А(х) и В(х).

Конъюнкцией высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х, называется высказывательная форма А(х) В(х), заданная на том же множестве Х, истинная при тех значениях х Х, при которых обе формы А(х) и В(х) истинны одновременно.

Обозначение А(х) В(х), читаем: «Конъюнкция А(х) и В(х)» или «А(х) и В(х)», т.е. так же, как и конъюнкция высказываний, конъюнкция высказывательных форм образуется с помощью союза «и».

Например, конъюнкцией высказывательных форм А(х): «х>2 и В(х): «х<5», хÎN, является высказывательная форма А(х) В(х): «х>2 и х<5», хÎN, которую можно записать иначе: «2<x<5», хÎN.

Таким образом, двойное неравенство а<x<в является конъюнкцией двух неравенств х>а и х<в.

Установим правило, которое позволит найти множество истинности конъюнкции высказывательных форм (предикатов), если известны множества истинности составляющих форм.

Рассмотрим пример.

Пусть на множестве Х={1;2;3;4;5;6;7;8} даны высказывательные формы А(х): «хM2» и В(х): «хM3». Обозначим Т_А и Т_В соответственно множества истинности высказывательных форм А(х) и В(х). Найдем Т_А и Т_В : Т_А = {2;4;6;8}, Т_В={3;6}. Теперь сформулируем конъюнкцию данных высказывательных форм: А(х) В(х): «хM2 и хM3», ее множеством истинности будет множество Т={6}. Очевидно, что множество Т является пересечением множеств Т_А и Т_В: Т = Т_А Т_В или Т_АÙВ = Т_А Т_В, где Т_АÙВ – множество истинности А(х) В(х). Множества истинности данных высказывательных форм и их конъюнкцию можно изобразить на диаграмме Эйлера-Венна (рис. 20).

Х

T_A T_AÙB T_B

Рис. 20

Таким образом, теперь можно сформулировать правило нахождения множества истинности конъюнкции высказывательных форм А(х) В(х), хÎХ, если известны множества истинности составляющих высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х.

Если Т_А – множество истинности высказывательной формы (предиката) А(х), хÎХ, а Т_В – множество истинности высказывательной формы В(х), хÎХ, то множеством истинности Т_АÙВ высказывательной формы А(х) В(х), хÎХ, является пересечение множеств истинности данных высказывательных форм А(х) и В(х), т.е. Т_АÙВ = Т_А Т_В.

Теперь рассмотрим понятие дизъюнкции высказывательных форм (предикатов).

Пусть на множестве Х заданы высказывательные формы А(х) и В(х).

Дизъюнкцией высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х, называется высказывательная форма А(х) В(х), заданная на том же множестве, истинная при тех значениях хÎХ, при которых истинна хотя бы одна из высказывательных форм А(х) и В(х).

Обозначение А(х) В(х), читаем: «Дизъюнкция А(х) и В(х)» или «А(х) или В(х)», т.е. по аналогии с дизъюнкцией высказываний дизъюнкция высказывательных форм образуется с помощью союза «или».

Например, дизъюнкцией высказывательных форм А(х): «х>5» и В(х): «х=5», хÎN, является высказывательная форма А(х) В(х): «х>5 или х=5», хÎN, которую можно записать короче: «х≥5», х ÎN.

Таким образом, нестрогое неравенство вида х≥а (х≤а) является дизъюнкцией неравенства х>а (х<а) и равенства х=а.

Выведем правило, позволяющее найти множество истинности дизъюнкции высказывательных форм, если известны множества истинности составляющих форм.

Рассмотрим пример.

Пусть на множестве Х={1;2;3;4;5;6;7;8} даны высказывательные формы А(х): «хM2» и В(х): «хM3». Их множества истинности обозначим соответственно через Т_А и Т_В; тогда Т_А ={2;4;6;8}, Т_В={3;6}. Сформулируем дизъюнкцию данных высказывательных форм: А(х) В(х): «хM2 или хM3», ее множество истинности обозначим Т_{А В}, тогда Т_{А В} = {2;3;4;6;8}. Нетрудно увидеть, что множество Т_{А В} является объединением множеств Т_А и Т_В: Т _{А В} =Т_А Т_В. Изобразим для наглядности множества истинности данных высказывательных форм и множество истинности дизъюнкции этих форм на диаграмме Эйлера-Венна (рис. 21), где Т_{А В} - вся заштрихованная область.

Х

T_A T_B

Рис. 21

Теперь сформулируем правило нахождения множества истинности дизъюнкции высказывательных форм А(х) В(х), хÎХ, если известны множества истинности составляющих высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х.

Если Т_А - множество истинности высказывательной формы А(х), хÎХ, а Т_В - множество истинности высказывательной формы В(х), хÎХ, то множеством истинности Т_{А В} высказывательной формы А(х) В(х), хÎХ, является объединение множеств истинности данных высказывательных форм А(х) и В(х), т.е. Т_{А В} = Т_А Т_В.

Выясним, как строить отрицание конъюнкции и дизъюнкции высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х. Используя законы де Моргана, рассмотренные и доказанные в пункте 2.3 настоящего пособия, а именно: =`А `B, =`А `B,сформулируем правило построения отрицания конъюнкции А(х) ÙВ(х) и дизъюнкции А(х) В(х) высказывательных форм, заданных на множестве Х.

Чтобы построить отрицание конъюнкции А(х)ÙВ(х) (дизъюнкции А(х) В(х)) высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х, нужно заменить отрицаниями составляющие ее высказывательные формы, а союз «и» («или»)заменить союзом «или»(«и»), т.е. операцию конъюнкции (дизъюнкции) заменить операцией дизъюнкции (конъюнкции).

Рассмотрим примеры образования отрицаний конъюнкции и дизъюнкции высказывательных форм.

1. Дана конъюнкция А(х) ÙB(х): «хM3 и х>5», хÎN. Образуем ее отрицание: «Неверно, что хM3 и х>5» или, используя сформулированное выше правило, получим: «х не делится на 3 или х≤5». Для множеств истинности Т_А и Т_В высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х, при этом будет выполняться равенство:

Т¢_АÙВ =Т¢_А Т¢_В,

т.е. дополнение множества истинности конъюнкции высказывательных форм А(х) и В(х) равно объединению дополнений к множествам истинности каждой высказывательной формы.

2. Для дизъюнкции А(х) B(х): «х<2 или х – простое число», хÎN, образуем отрицание: «Неверно, что х<2 или х – простое число» или, иначе, «х≥2 и х – не простое число». Для множеств истинности Т_А и Т_В высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х, будет выполняться равенство:

Т¢_{А В}=Т¢_А Т¢_В,

т.е. дополнение множества истинности дизъюнкции высказывательных форм А(х) и В(х) равно пересечению дополнений к множествам истинности каждой высказывательной формы.