Понятия множества и элемента множества

В математике часто приходится рассматривать те или иные группы объектов как единое целое:

цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;

натуральные числа: 1, 2, 3, 4,...;

треугольники (рис. 11):

Рис. 11

Все эти различные совокупности называют множествами. Множество – одно из основных математических понятий, поэтому не имеет явного определения, а поясняется на примерах. Возникло это понятие в конце XIX века как обобщение понятий: класс, груп­па, набор и т.п.

В быту множеством называют большое количество элементов.

В математике рассматривают множества, состоящие и из одного объекта, и не содержащие ни одного объекта. Обозначают мно­жества заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, …, Z.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пус­тым и обозначают символом Æ. Например, пустым является мно­жество решений уравнения 5 : х = 0.

Для некоторых числовых множеств приняты стандартные обо­значения:

N – множество натуральных чисел,

Z – множество целых чисел,

Q – множество рациональных чисел,

R – множество действительных чисел.

Объекты, из которых образовано множество, называют его эле­ментами, их принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, с,..., z.

При выяснении принадлежности данного объекта к рассмат­риваемому множеству делают запись:

а Î А – «объект а принадлежит множеству А»,

a Ï A – «объект а не принадлежит множеству А».

Примеры: 1) 3 Î N – « 3 натуральное число»;

2) -5 Ï N – «-5 не является натуральным числом».

Множества бывают конечные и бесконечные.

Например, множество букв русского алфавита – конечное, а множество точек на прямой – бесконечное множество.