Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедиться в ложности, необходимо провести доказательство.

Пример:

Наглядный материал: Игрушки в коробке.

Вопрос ребенку: «Есть ли в коробке мячи?»

Математическое предложение: «Хотя бы один из предметов – мяч».

Операция получения высказываний из высказывательных форм (предикатов) с помощью кванторов называется операцией навешивания кванторов.

Итак, если задана одноместная высказывательная форма Р(х), заданная на множестве Х, то чтобы превратить ее в высказывание, нужно связать квантором общности или существования содержащуюся в ней переменную. Если высказывательная форма содержит несколько переменных, то перевести ее в высказывание можно, связав квантором каждую переменную.

Например, если дана высказывательная форма Р(х; у): «х+у=5», х, у ÎN, то для получения высказывания надо связать кванторами каждую переменную: 1)( xÎN) ( уÎN) (x+у=5); 2) ( x, уÎN) (x+у=5); 3) ( x, уÎN)(x+у=5).

Из полученных высказываний первое и третье будут истинны, а второе – ложно.

Однако важно уметь не только переходить от высказывательных форм (предикатов) к высказываниям с кванторами, но и распознавать высказывания, содержащие кванторы, и выявить их логическую структуру. Дело в том, что в формулировках определений, теорем и других математических предложений кванторы только подразумеваются, а явно не используются.

Например, в формулировке теоремы «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны» квантора в явном виде нет, но предполагается, что данное утверждение верно для всех ромбов.

Задача.

Выявить логическую структуру следующих высказываний:

1. Некоторые натуральные числа делятся на 3.

2. Произведение двух последовательных натуральных чисел кратно 2.

3. В прямоугольнике диагонали равны.

Решение:

1. В этом предложении имеется квантор существования, выраженный словом «некоторые» и высказывательная форма «числа делятся на 3», заданная на множестве N натуральных чисел. Обозначив эту форму символом А(х), получим логическую структуру данного предложения: ( хÎN) А(х). Если А(х) записать, используя символ: «хM3», то исходное высказывание можно представить в виде: ( хÎN)(хM3).

2. В данном высказывании подразумевается квантор общности и имеется высказывательная форма «произведение двух последовательных чисел кратно 2», заданная на множестве N натуральных чисел. Обозначим ее А(х), тогда логическая структура данного высказывания такова: ( хÎN) А(х). Если последовательные числа обозначить через х и х+1, то искомое высказывание можно представить в виде: ( хÎN) х (х+1) M2.

3. В данном высказывании квантора в явном виде нет, но он подразумевается, т.к. свойством «иметь равные диагонали» обладают любые прямоугольники, поэтому, этот квантор общности можно включить в высказывание, не изменив его сути: «В любом прямоугольнике диагонали равны». Тогда его структура такова: ( хÎХ)А(х), где Х – множество прямоугольников, А(х) – высказывательная форма «в прямоугольнике х диагонали равны».