Высказывательные формы (предикаты) и операции над ними

В математике часто встречаются предложения, содержащие одно или несколько переменных: х < 3, х + у = 8. Эти предложения не являются высказываниями, так как не имеет смысла вопрос, истинны они или ложны.

Рассмотрим пример. Предложение «Число х – двузначное» не является высказыванием, т.к. относительно него нельзя определить: истинно это предложение или ложно. Однако при подстановке конкретных значений вместо переменной оно обращается в истинное или ложное высказывание. Например, при х=7 мы получим ложное высказывание «Число 7-двузначное», а при х=27 – истинное высказывание «Число 27-двузначное». Такое предложение в математике называют предикатом или высказывательной формой.

Предложение, содержащее переменную, которая может принимать различные значения, причем подстановка любого из значений переменной превращает это предложение в высказывание, называется предикатом или высказывательной формой.

Каждая высказывательная форма порождает множество высказываний.

Например, при подстановке различных значений вместо переменной в высказывательную форму «х+3=8» будем получать однотипные высказывания: 2+3=8, 7+3=8, 5+3=8 и др.

По числу переменных, входящих в высказывательную форму (предикат), их делят на одноместные, двухместные и т.д. и соответственно обозначают: А(х), В(х; у) и т.д.

Например, предложения «Число х – двузначное» и «х+3=8» являются одноместными высказывательными формами (предикатами), а предложения «х>у» и «х+у=10» - двухместными высказывательными формами.

Следует иметь в виду, что в высказывательной форме переменные могут содержаться неявно.

Например, в предложениях: «Число четное», «Две прямые пересекаются», «Четырехугольник является ромбом» переменных нет, но они подразумеваются: «Число х – четное», «Две прямые х и у пересекаются», «Четырехугольник х является ромбом».

Для каждой высказывательной формы нужно указать множество значений, которые может принимать переменная (переменные), входящая в эту высказывательную форму.

Множество значений, которые может принимать переменная (переменные) высказывательной формы (предиката), называется областью определения высказывательной формы (предиката).

Область определения высказывательной формы будем обозначать через Х и предикаты будем записывать с указанием области определения: А(х), хÎХ; В(х; у), х, уÎХ и т.д. Запись А(х), х Î Х, читают: «Высказывательная форма (предикат) А(х) задана на множестве Х».

Например.

1. А(х): «Слово х – глагол», его областью определения будет множество слов русского языка.

2. В(х): «х+7=12», Х=R.

3. С(х): «Четырехугольник х – квадрат», Х – множество четырехугольников.

4. D(х; у): «х+у=5», Х=R или Х=N.

Среди всех возможных значений переменной из области определения выделяют те, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание.

Множество тех значений переменной из области определения высказывательной формы (предиката), при подстановке которых получаем истинные высказывания, называется множеством истинности высказывательной формы (предиката).

Множество истинности высказывательной формы (предиката) будем обозначать буквой Т. Тогда, согласно определению, ТÌХ (множество Т является подмножеством множества Х).

Примеры.

1. А(х): «Слово х – глагол», его множеством истинности является множество глаголов русского языка.

2. В(х): «х+7=12», Т={5}.

3. С(х): «Четырехугольник х – квадрат», Т- множество квадратов.

4. D(х; у): «х+у=5». Множество истинности этого предиката может быть различным в зависимости от области определения. Если Х=R или Х=Z, то Т – множество пар чисел, сумма которых равна 5, причем это множество будет бесконечным. Если Х=N, то Т={(1;4), (2;3), (4;1), (3;2)}.

5. Q(х): «х<5», где хÎN, тогда Т={1;2;3;4}.

Высказывательную форму, заданную на конечном множестве, можно задавать таблицей, в первой строке которой указываются элементы области определения, а во второй – истинно или ложно высказывание, получаемое из высказывательной формы при подстановке этих элементов вместо переменной.

Например, пусть высказывательная форма А(х): «Число х – четно» задана на множестве Х={1; 2; 3; 4; 5; 6}. Так как высказывание «Число 1 –четно» ложно, то числу 1 будет соответствовать значение высказывательной формы «л» (ложь). Числу 2 соответствует истинное высказывание «Число 2 – четно». Получаем следующую таблицу.

Таким образом, высказывательная форма обращается в высказывание при подстановке конкретных значений из области определения вместо каждой переменной, входящей в форму. Но высказывательную форму можно превратить в высказывание и другим способом.