Эквиваленция высказываний

Рассмотрим составное высказывание, которое образуется из двух элементарных при помощи логической связки «… тогда и только тогда, когда …».

Например, пусть даны высказывания А: «Число 129 делится на 3» и В: «Сумма цифр числа 129 делится на 3». Тогда составное высказывание «Число 129 делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа 129 делится на 3» имеет структуру «А тогда и только тогда, когда В» и называется эквиваленцией.

Пусть даны высказывания А и В.

Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание, которое истинно, когда оба высказывания А и В истинны или оба ложны одновременно.

Эквиваленция высказываний А и В обозначается: А В. Читаем: «Эквиваленция высказываний А и В» или «А тогда и только тогда, когда В» («А в том и только в том случае, если В»).

Определение эквиваленции высказываний А и В представим в таблице.

А	В	АВ
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	и

Примеры.

1. Составное высказывание «Число 18 чётно тогда и только тогда, когда 18M2» истинно, т.к. оба элементарные высказывания «Число 18 чётно» и «18M2» истинны.

2. Составное высказывание «Число 195 делится на 3 тогда и только тогда, когда 195 делится на 9» будет ложным, т.к. оно представляет собой эквиваленцию истинного высказывания «Число 195 делится на 3» и ложного высказывания «Число 195 делится на 9».

3. Составное высказывание «Число 12 простое в том случае, если 12 двузначное число» ложно, т.к. представляет собой эквиваленцию ложного высказывания «Число 12 простое» и истинного высказывания «12 двузначное число».

4. Составное высказывание «12>15 тогда и только тогда, когда 15<12» истинно, т.к. оба составляющие высказывания «12>15» и ложного высказывания «15<12» ложны.

Для эквиваленции высказываний А и В выполняется закон исключения эквиваленции: ( A,B)[A B= (А B) (B A)].

Читаем: «Для любых высказываний А и В эквиваленция высказываний А и В равносильна конъюнкции импликации высказываний А и В и импликации высказываний В и А».

Докажем этот закон с помощью таблицы истинности.

А	В	AB	АB	BA	(АB)(BA)
и	и	и	и	и	и
и	л	л	л	и	л
л	и	л	и	л	л
л	л	и	и	и	и

* *

Сравнивая по сторонам значения истинности для составных высказываний AB и (АB) (BA) в столбцах, отмеченных знаком «*», убеждаемся, что эти высказывания равносильны, следовательно, закон исключения эквиваленции доказан.

Замечание. В математической логике считают, что: 1) операция конъюнкции «сильнее», чем операции дизъюнкции, импликации и эквиваленции; 2)операция дизъюнкции «сильнее», чем импликация и эквиваленция; 3) операция импликации «сильнее»», чем эквиваленция.

Например, определим порядок действий в составных высказываниях:

а) АB C; б) A BCD; в) AB C; г) ABC.

а) Для высказывания АB C порядок такой: 1) B C; 2) АB C.

б) Для высказывания A BCD порядок будет следующий: 1)BC; 2)A BC; 3) A BCD.

в) В высказывании АB C выполняем: 1) B C; 2) АB C.

г) В высказывании ABC выполняем: 1) BC; 2) ABC.