ГЛАВА II. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Логика – наука правильно рассуждать. Она была развита в IV в. до н. э. в работах великого древнегреческого философа Аристотеля, его учеников и последователей. Аристотель исследовал различные формы суждений и их комбинаций и ввел понятие силлогизма, т.е. рассуждения, в котором из заданных двух суждений выводится третье. Он выделил все правильные формы силлогизмов, которые можно составить из суждений: «Все суть », «Некоторые суть », «Все не суть », «Некоторые не суть ».

Перечисленные выше суждения допускают теоретико-множественную интерпретацию: «Все суть » – «Все элементы множества являются элементами множества », т.е. ; «Некоторые суть » – «Некоторые элементы множества являются элементами множества », т.е. ; «Все не суть » – «Все элементы множества не являются элементами множества », т.е. ; «Некоторые не суть » – «Некоторые элементы множества не являются элементами множества », т.е. и . Поскольку множества и операции над ними можно изображать с помощью диаграмм или кругов Эйлера-Венна, то рассуждения указанного вида можно интерпретировать в геометрии. Этот метод геометрической иллюстрации рассуждений позволяет без особого труда выявить все правильные формы силлогизмов.

Логика, основанная на теории силлогизмов, называется классической. Хорошо известно, что общее число силлогизмов, которые можно составить из суждений указанного типа, равно 256. Из них правильными являются лишь 24.

Как известно, в конце XVI в. словесная форма записи алгебраических выражений стала тормозить развитие науки и чтобы облегчить выполнение алгебраических преобразований, была создана буквенная символика. Она использовалась для облегчения проверки и преобразования сложных цепочек рассуждений. Это новое буквенное исчисление получило название алгебры логики или математической логики. Основы ее заложены в XVII в. немецким математиком Г. Лейбницем (1646–1716). В середине XIX в. ирландский математик и логик Джордж Буль (1816–1864) своими трудами положил начало формированию математической логики как научной дисциплины.