Конъюнкция и дизъюнкция высказываний

Рассмотрим составное высказывание, которое образуется из элементарных высказываний с помощью союза «и».

Союз «и» в русском языке имеет различные смысловые оттенки. Например, предложение «Кубик маленький и красный» будет истинным, если истинны оба составляющих предложения. А предложение «На этих местах сидят дети и инвалиды» истинно, если истинно хотя бы одно из составляющих предложений. В математической речи союз «и» употребляется только в первом смысле.

Пусть даны высказывания А и В.

Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, которое истинно, когда истинны оба данные высказывания одновременно.

Конъюнкция высказываний А и В обозначается: АÙВ. Читаем: «Конъюнкция высказываний А и В» или «А и В».

Название «конъюнкция» произошло от латинского слова «conjunctio», что означает «союз, связь или единение». Определение конъюнкции высказываний А и В можно записать в следующей таблице.

Замечание. В этой таблице, кроме первой строки для обозначения высказываний, еще – 4 строки для комбинаций значений истинности высказываний А и В. Для подсчета числа комбинаций используется комбинаторная задача – размещение с повторениями, т.к. мы два значения истинности («и» или «л») распределяем на два высказывания.

Используя формулу для подсчета числа размещений с повторениями Ā =m , получаем Ā = 2² = 4. Если данных высказываний будет 3, то комбинаций (строк) будет 8 по той же формуле Ā = 2³ = 8. Для четырех данных высказываний число комбинаций значений истинности и, соответственно, число строк будет равно уже 16, т.к. Ā = 2 = 16.

Примеры.

1. Составное высказывание «Число 2 чётное и простое» будет истинным, т.к. оно является конъюнкцией двух истинных высказываний «Число 2 чётное» и «Число 2 простое».

2. Составное высказывание «Число 14 четное и простое» будет ложным, т.к. оно представляет собой конъюнкцию двух высказываний «Число 14 четное» и «Число 14 простое», из которых первое истинно, а второе ложно.

3. Составное высказывание «8<5<4» будет также ложным, т.к. является конъюнкцией двух ложных высказываний «8<5» и «5<4».

4. Пример использования составного высказывания «А и В» в работе с дошкольниками. Наглядный материал изображён на рисунке 16:

Задание ребенку: «Возьми

чёрный треугольник». Рис. 16

Элементарные предложения: А – «фигура треугольной формы», В – «фигура чёрного цвета».

Выбор ребёнка	Значение истинности элементарных предложений	Оценка воспитателя
А	В
	и	и	«правильно»
	и	л	«неправильно»
	л	и	«неправильно»
	л	л	«неправильно»

Замечание. В обыденной речи конъюнкция может выражаться не только с помощью союза «и», но и другими, например, «а», «но», «однако», «не только…, но и …».

Например, «Число 16 делится не только на 2, но и на 4».

Рассмотрим составное высказывание, которое образуется из элементарных высказываний с помощью союза «или».

Предложение «Идет дождь или светит солнце» будет истинным, если истинно хотя бы одно из составляющих предложений, причем не исключается возможность истинности обоих предложений. Именно в этом смысле понимается союз «или» и в математическом языке.

Пусть даны высказывания А и В.

Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из данных высказываний.

Дизъюнкция высказываний А и В обозначается: А В.Читаем: «Дизъюнкция высказываний А и В» или «А или В».

Название «дизъюнкция» произошло от латинского слова «disjunctio», что означает «разделение, разобщение».

Определение дизъюнкции высказываний А и В можно записать в следующей таблице.

А	В	А В
и	и	и
и	л	и
л	и	и
л	л	л

Примеры.

1. Составное высказывание «Число 14 чётное или простое» будет истинным, т.к. оно представляет собой дизъюнкцию высказываний «Число 14 чётное» и «Число 14 простое», где первое – истинно, а второе – ложно.

2. Составное высказывание «Число 36 делится на 6 или на 9» будет также истинным, т.к. оно является дизъюнкцией двух истинных высказываний «Число 36 делится на 6» и «Число 36 делится на 9».

3. Составное высказывание «4≥6» будет ложным, т.к. оно представляет собой дизъюнкцию двух ложных высказываний «4>6» и «4=6».

4. Пример использования составного высказывания «А или В» в работе с детьми дошкольного возраста. Наглядный материал изображён на рисунке 17:

Задание ребенку: «Возьми фигуру, похожую на яблоко по цвету или по форме».

Рис. 17

Элементарные предложения: А – «форма как у яблока», В – «цвет как у яблока».

Выбор ребенка	Значение истинности элементарных предложений	Оценка воспитателя
А	В
	и	и	«правильно»
	и	л	«правильно»
	л	и	«правильно»
	л	л	«неправильно»

Замечание. Определения конъюнкции и дизъюнкции двух высказываний можно обобщить на n составляющих их высказываний.

Конъюнкцией высказываний A , А , …, А называется высказывание, которое истинно, когда истинны все данные высказывания одновременно.

Дизъюнкцией высказываний A , А , …, А называется высказывание, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из данных высказываний.

Для операций конъюнкции и дизъюнкции высказываний выполняются одинаковые законы, поэтому рациональнее рассматривать их одновременно.

I. Закон коммутативности

а) конъюнкции высказываний: ( A,B)(A B=B A),

б) дизъюнкции высказываний: ( A,B)(A B=B A).

I а) читаем: «Для любых высказываний А и В конъюнкция высказываний А и В равносильна конъюнкции высказываний В и А».

I б) читаем: «Для любых высказываний А и В дизъюнкция высказываний А и В равносильна дизъюнкции высказываний В и А».

Название этого закона произошло от латинского слова «commutatio», что означает «перемена», поэтому закон иначе называется переместительным (от перемены мест высказываний конъюнкция или дизъюнкция не меняется).

Доказательство законов Iа и Iб проводят в таблицах истинности.

Iа Iб

А	В	AB	BA		А	В	AB	BA
и	и	и	и	и	и	и	и
и	л	л	л	и	л	и	и
л	и	л	л	л	и	и	и
л	л	л	л	л	л	л	л

Сравнивая в этих таблицах значения истинности для результатов операций AB и BA (AB и BA) по строкам, убеждаемся, что эти значения совпадают, следовательно, составные высказывания AB и BA (AB и BA) равносильны, а равенства: AB = BA и AB = BA верны.

II. Закон ассоциативности

а) конъюнкции высказываний: ( A,B,C)[A (B C)=(A B) C],

б) дизъюнкции высказываний: ( A,B,C)[A (B C)=(A B) C].

II а) читаем: «Для любых высказываний А, В и С конъюнкция высказывания А с конъюнкцией высказываний В и С равносильна конъюнкции высказывания С с конъюнкцией высказываний А и В».

II б) читаем: «Для любых высказываний А, В и С дизъюнкция высказывания А с дизъюнкцией высказываний В и С равносильна дизъюнкции высказывания С с дизъюнкцией высказываний А и В».

Название закона произошло от латинского слова «associatio», что означает «сочетание, соединение», поэтому он иначе называется сочетательным (от перемены мест скобок конъюнкция или дизъюнкция не меняется).

В следующей таблице истинности докажем закон II а.

А	В	С	BC	A(BC)	AB	(AB)C
и	и	и	и	и	и	и
и	и	л	л	л	и	л
и	л	и	л	л	л	л
и	л	л	л	л	л	л
л	и	и	и	л	л	л
л	л	и	л	л	л	л
л	л	л	л	л	л	л

* *

Сравнивая в этой таблице по строкам значения истинности для результатов операций A(BC) и (AB)C (столбцы, помеченные знаком «*»), убеждаемся, что эти значения совпадают, следовательно, равенство A(BC)=(AB)C – верно.

Закон II б предлагается доказать самостоятельно.

III. Закон дистрибутивности

а) конъюнкции относительно дизъюнкции: ( A,B,C)[A (B C)= (A B) (А C)],

б) дизъюнкции относительно конъюнкции: ( A,B,C)[A (B C)= (A В) (A C)].

Название закона произошло от латинского слова «distributio», что означает «распределение», поэтому иначе его называют распределительным законом.

III а) читаем: «Для любых высказываний А, В и С конъюнкция высказывания А с дизъюнкцией высказываний В и С равносильна дизъюнкции конъюнкции А и В с конъюнкцией высказываний А и С».

III б) читаем: «Для любых высказываний А, В и С дизъюнкция высказывания А с конъюнкцией высказываний В и С равносильна конъюнкции дизъюнкции А и В с дизъюнкцией А и С».

Докажем закон IIIа дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции, используя таблицу истинности и определения операций конъюнкции и дизъюнкции.

А	В	С	BC	A(BC)	AB	AС	(AB)(АC)
и	и	и	и	и	и	и	и
и	и	л	и	и	и	л	и
и	л	и	и	и	л	и	и
и	л	л	л	л	л	л	л
л	и	и	и	л	л	л	л
л	и	л	и	л	л	л	л
л	л	и	и	л	л	л	л
л	л	л	л	л	л	л	л

* *

Сравнивая по строкам значения истинности для результатов операций A(BC) и (AB)(АC) (столбцы, помеченные знаком «*»), убеждается, что все значения совпадают, значит составные высказывания A(BC) и (AB)(АC) равносильны и равенство A(BC) = (AB)(АC) – верно.

Закон III б предлагается доказать самостоятельно.

IV. Законы де Моргана

а) отрицание конъюнкции: ( A,B) ( =`А `B),

б) отрицание дизъюнкции: ( A,B)( =`А `B).

Законы названы именем шотландского математика де Моргана (1806 -1871 гг.).

IV а) читаем: «Для любых высказываний А и В отрицание конъюнкции высказываний А и В равносильно дизъюнкции отрицаний высказываний А и В».

IV б) читаем: «Для любых высказываний А и В отрицание дизъюнкции высказываний А и В равносильно конъюнкции отрицаний высказываний А и В».

Доказательство этих законов выполнено в следующих таблицах.

IV а IV б

А

В

AB

Ā

`В

`А `B

А

В

AB

Ā

`В

`А `B

и

и

и

л

л

л

л

и

и

и

л

л

л

л

и

л

л

и

л

и

и

и

л

и

л

л

и

л

л

и

л

и

и

л

и

л

и

и

л

и

л

л

л

л

л

и

и

и

и

л

л

л

и

и

и

и

* * * *

Сравнивая по строкам значения истинности для результатов операций и `А `B в левой таблице (и `А `B – в правой таблице) в столбцах, отмеченным знаком «*», убеждаемся, что все значения совпадают, значит, законы де Моргана доказаны.

Рассмотрим применение этих законов на следующих примерах.

1. Даны высказывания А: «5>3» и В: «4=5», где А – и, а В – л. Образуем конъюнкцию данных высказываний: AB: «5>3 и 4=5» - она ложна. Ее отрицание: : «Неверно, что 5>3 и 4=5». Чтобы определить значение истинности этого составного высказывания, воспользуемся законом де Моргана = `А `B. Тогда имеем `А `B: «5`>3 или 4≠5» или «5≤3 или 4≠5», это составное высказывание истинно, т.к. «5≤3» - л, а «4≠5» - и.

2. Из высказываний А: «6M2» и В: «4<8», из которых оба истинны, образуем дизъюнкцию AB: «6M2 или 4<8» (она «и»), а теперь – её отрицание : «Неверно, что 6M2 или 4<8». Используя закон де Моргана = `А `B, получим AB = `А `B: «6`M2 и 4`<8» или «6 не кратно 2 и 4≥8»; это составное высказывание ложно, т.к. оба составляющие высказывания «6 не кратно 2» и «4≥8» ложны.

V. а) Закон противоречия: ( A) (A Ā=л).

б) Закон исключения третьего: ( A)(A Ā=и).

V а) читаем: «Для любого высказывания А конъюнкция высказывания А с его отрицанием есть ложное высказывание».

V б) читаем: «Для любого высказывания А дизъюнкция высказывания А с его отрицанием есть истинное высказывание».

Доказательство законов V а и V б приведено в следующих таблицах.

V а V б

А	Ā	AĀ		А	Ā	AĀ
и	л	л	и	л	и
л	и	л	л	и	и

В левой таблице значения истинности для составного высказывания AĀ все ложны, а это и значит, что AĀ=л. В правой таблице значения истинности для высказывания AĀ все истинны, т.е. AĀ=и.

Замечание. В логике считается, что операция конъюнкции «сильнее» операции дизъюнкции, поэтому, если в составном высказывании есть знаки операций конъюнкции и дизъюнкции и нет скобок, то сначала выполняют конъюнкцию, а затем дизъюнкцию.

Например, порядок выполнения действий в составном высказывании AВC будет такой: сначала находят конъюнкцию высказываний В и С, а затем – дизъюнкцию высказывания А с полученным составным высказыванием ВС.

Согласно этому замечанию, например, закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции (см. III а) можно записать: (A,B,C)[A (BC)=ABAC].