Высказывания и операции над ними

Высказываниемназывается всякое повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

Например, высказываниями являются предложения: «Число 12 является чётным», «6M2», «В числе 12 один десяток и 2 единицы», «Число 112 делится на 3», «5 + 2 = 8 », «Число 5 является решением уравнения x²-10=0». Первые три высказывания являются истинными, последние три – ложными высказываниями.

Высказывания будем обозначать большими буквами латинского алфавита: A, B, C, … Z. Если высказывание А истинно, то пишут: А – «и»; если высказывание А ложно, то записывают: А – «л». «Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказывания. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно: быть одновременно и тем другим оно не может.

Согласно определению высказывания, вопросительные и восклицательные предложения не являются высказываниями. Повествовательные предложения, о которых нельзя сказать, истинны они или ложны, также не являются высказывания.

Например, предложения «Да здравствует мир!», «Ты пойдешь сегодня в кино?», «Сумма чисел 4 и 15», «х+5=9» не являются высказываниями.

Все высказывания разделяются на элементарные (простые) и составные (сложные).

Высказывание называется элементарным или простым, если оно содержит в себе одну мысль.

Например, А: «Число 15 – составное», В: «8+81=90», причем высказывание А – «и», В – «л».

В элементарных высказываниях истинность устанавливается по содержанию. Например, «Число 20 четное» – истинное высказывание, так как нам, известно, что 20 : 2 = 10, «5 + 2 = 8» – ложное, так как 5 + 2 ¹ 8.

Высказывание называется составным или сложным, если оно содержит в себе несколько элементарных (простых) высказываний.

Например.

1. А: «5≥2». Это высказывание состоит из двух элементарных высказываний, которые несложно вычленить по чтению математического знака «≥» («больше или равно»), т.е. мы имеем составное высказывание, состоящее из двух элементарных высказываний, соединенных союзом «или»: «5 > 2 или 5 = 2».

2. В: «Сегодня ясно и тепло». Это высказывание также является составным, т.к. оно содержит в себе два элементарные высказывания, соединенные союзом «и»: «Сегодня ясно и сегодня тепло».

Таким образом, составные высказывания получаются из элементарных путем соединения их союзами «и», «или» и некоторыми другими, которые в математике называют логическими связками.

Образование составного высказывания из элементарных высказываний с помощью логической связки называется логической операцией.

Замечание. Логические операции над высказываниями и их результаты (составные высказывания) называются одинаково.

Два составных высказывания называются равносильными (или эквивалентными), если они одновременно истинны или одновременно ложны при любых значениях истинности входящих в них элементарных высказываний.

В этом случае между составными высказываниями ставят знак «=».

Это определение нам понадобится при доказательстве законов логических операций над высказываниями.

Составное высказывание, истинное при любых значениях истинности входящих в него элементарных высказываний, называется тавтологией.

Для того чтобы определить значение истинности составного высказывания, необходимо знать смысл используемых логических связок, с помощью которых оно образовано из элементарных, и определение соответствующей логической операции, а также уметь выявлять логическую структуру (строение) высказывания.

Для выявления логической структуры составного высказывания нужно установить: 1) из каких элементарных высказываний образовано данное составное высказывание; 2) с помощью каких логических связок оно образовано.

Например, выявим логическую структуру высказывания «Если 16 делится на 4, то 16 делится на 2». Оно состоит из двух элементарных высказываний: высказывания «16 делится на 4» и высказывания «16 делится на 2». Соединены они в одно составное высказывание с помощью логической связки «если…, то…». Говорят, что данное составное высказывание имеет логическую структуру: «Если А, то В».

Теперь для выявления значений истинности составных высказываний нужно изучить логические операции над высказываниями.