Аксиоматическое определение множества действительных чисел

Множеством действительных чисел называется множество, содержащее более одного элемента и удовлетворяющее следующим свойствам I‑V.

I. Для определено единственное число a + b, называемое суммой двух действительных чисел, так что выполняются условия:

1) a + b = b + a – свойство коммутативности операции сложения;

2) a + b + c =(a + b) + c — свойство ассоциативности операции сложения;

3) $ число ноль такое, что a + 0= a для
0 – это нейтральный элемент операции сложения;

4) для $ противоположное число такое, что a+(–a)= 0;

5) число a + (–b) = a – b называется разностью чисел a и b.

II. Для определено единственное число a·b (или ab), называемое произведением двух действительных чисел, так что выполняются условия:

1) a·b = b·a – свойство коммутативности операции умножения;

2) a·b·c =(a·b)·c – свойство ассоциативности операции умножения;

3) $ число единица такое, что a·1= a для
1 – это нейтральный элемент операции умножения;

4) для единственное обратное число такое, что ;

5) число (или a : b) называется частным от деления числа a на число b.

III. Имеет место свойство дистрибутивности произведения относительно суммы:

(a + b)·c = a·c + b·c для .

IV. Упорядоченность множества действительных чисел :

Для имеет место одно и только одно отношение порядка:

a < b или a = b или a > b. При этом выполняются условия:

1) если a < b и b < c, то a < c — транзитивность;

2) если a < b, то a + c < b + c для ;

3) если a < b и c > 0, то a·c < b·c.

Как следствие этих условий получается свойство плотности множества действительных чисел :

для и a < b $ число .

w такое, что a < c < b v

Отношения порядка называются неравенствами или сравнениями действительных чисел.

Нестрогие неравенства:

V. Непрерывность множества действительных чисел :

Для любых непустых множеств и , у которых для и выполняется неравенство , существует такое число , что выполняется соотношение при и при ,(рис. 12).

Рис. 12

Перечисленные свойства I-V определяют множество в том смысле, что из этих свойств следуют все остальные его свойства. Поэтому набор свойств I-V и даёт аксиоматическое определение множества .

Геометрическая интерпретация множества

Геометрическая интерпретация множества проводится на координатной (числовой) прямой, то есть на прямой с указанным на ней направлением, началом отсчета и масштабной единицей, (рис. 13).

Рис. 13

Смысл этой интерпретации состоит в том, что любому числу ставится во взаимно однозначное соответствие точка с координатой x на числовой прямой.