Аксіоматичне означення множення цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони множення.

5.Операцію множення на множини цілих невід’ємних чисел також введемо аксіоматично. Для цього сформулюємо дві додаткові аксіоми, які визначають в множині цілих невід’ємних чисел бінарну алгебраїчну операцію, яка однозначно визначена і задовольняє аксіомам 7–8. Аксіома 7 визначає правила знаходження добутку, коли другий множник дорівнює нулю, а аксіома 8 – вказує на правило знаходження добутку числа а та числа, яке безпосередньо йде за числом в. Операція, з допомогою якої знаходиться добуток, називається операцією множення. Отже, можна прийняти таке означення:

Означення:множенням цілих невід’ємних чисел називається бінарна алгебраїчна операція (якщо вона існує!), яка кожній парі цілих невід’ємних чисел (а,в)єZ_o² ставить у відповідність ціле невід’ємне число а×в - добуток чисел а і в - та задовольняє аксіоми 7 і 8:

Аксіома 7: при множенні будь-якого цілого невід’ємного числа а на нуль отримуємо нуль (символічно ця аксіома запишеться так: (VаєZ_o)[а×0=0]).

Аксіома 8: при множенні будь-якого цілого невід’ємного числа ана число, що безпосередньо йде за числом в, отримуємо ціле невід’ємне число а×в+а (символічно ця аксіома запишеться так: (Vа,вєZ_o)[а×в'=а×в+а]).

Оскільки в означенні нічого не говориться про існування та єдиність такої операції, а також про закони, яким вона підкоряється на множині цілих невід’ємних чисел, то слід довести відповідні теореми.

Теорема 5 (про існування та єдиність добутку): операція множення цілих невід’ємних чисел існує і єдина або існує одне і тільки одне відображення f : Z_o²®Z_o, яке кожній парі (а,в)єZ_o² ставить у відповідність єдине число а×вєZ_o так, що виконуються аксіоми 7 і 8.

Доведення:доведення складається з двох частин. У першій частині доведемо єдиність операції множення. Доведення проводиться аналогічно до теореми про єдиність операції додавання (пропонуємо студентам виконати відповідне завдання № 1 для самостійної роботи).

У другій частині доведемо існування бінарної алгебраїчної операції. Для доведення існування відповідності Z_o²®Z_o використаємо метод математичної індукції (ММІ). Утворимо деяку множину МÌZ_o, в якій операція множення існує і підкоряється аксіомам 7 і 8. Якщо а=0, то будемо вважати, що для довільного вєZ_o а×в=0. Таке відображення задовольняє аксіоми 7 і 8, бо при а=0, маємо 0×0=0 (за аксіомою 7) і 0×в'=0×в+0=0+0=0. Отже, 0єМ. Припустимо, що для аєМ операція множення існує, тобто виконуються аксіоми 7 і 8: а×0=0; а×в'=а×в+а. Спробуємо довести, що а'єМ. Виберемо, що а'в=ав+в, а потім покажемо, що ця рівність визначає для а' добуток, який підкоряється аксіомам 7 і 8.

а'×0=а×0+0 (згідно вибору) =0+0 (згідно аксіоми 7) =0 (за аксіомою 5). Розглянемо а'в=ав'+в'= (згідно вибору ав') =ав+а+в+1= (за аксіомою 8 та означенням в') =(ав+в)+(а+1)= (згідно переставного і сполучного законів додавання) =а'в+а' (згідно вибору а'в та визначення а'). Отже, для а' виконується аксіома 8, а тому а'єМ. Таким чином, множина М=Z_o, бо для М виконуються всі вимоги аксіоми 4. Теорема доведена.

Теорема 6:операція множення на множині цілих невід’ємних чисел підкоряється комутативному (переставному) закону (символічно: ("а,вєZ_o)[а×в=в×а]).

Теорема 7: операція множення на множині цілих невід’ємних чисел підкоряється асоціативному (сполучному) закону (символічно: ("а,в,сєZ_o)[(а×в)×с=а×(в×с)]).

Теорема 8: операція множення на множині цілих невід’ємних чисел пов’язана з операцією додавання дистрибутивним (розподільним) законом множення відносно додавання (символічно: ("а,в,сєZ_o)[(а+в)×с=а×с+в×с]).

Так само, як і для операції додавання, доведення теорем 6-8 проводиться з використанням методу від супротивного та методу математичної індукції. Ми приймемо справедливість цих теорем без доведення, враховуючи еквівалентність різних теорій цілих невід’ємних чисел. На основі аксіом 7 і 8 та теорем 6-8 можна побудувати таблиці множення, з допомогою яких можна значно спростити знаходження добутку будь-яких цілих невід’ємних чисел. Ці таблиці слід знати напам’ять. Існує вісім таблиць множення: на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7, на 8, на 9. Їх побудову покажемо на кількох прикладах. 2×2=2×1¢=2×1+2= (згідно аксіоми 8) =2 (згідно аксіоми 7)+2=4 (згідно таблиці додавання). 5×6=5×5¢=5×5+5=25+5=30.