Означення віднімання і ділення цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії.

7. Визначимо операції віднімання і ділення в аксіоматичні теорії цілих невід’ємних чисел та покажемо, яким умовам повинні задовольняти цілі невід’ємні числа, щоб ці операції існували та були єдині.

Означення: відніманням цілих невід’ємних чисел називається бінарна алгебраїчна операція (якщо вона існує!), яка кожній парі цілих невід’ємних чисел (а,в)єZ_o² ставить у відповідність ціле невід’ємне число а-в – різницю чисел а і в – таке, що (а-в)+в=а.

Із цього означення яскраво видно, що операція віднімання на множині цілих невід’ємних чисел є оберненою до операції додавання, коли за відомою сумою і одним доданком слід знайти інший, невідомий доданок. Разом з тим, в означенні нічого не говориться про умови існування, єдиність та правила виконання такої операції. Саме тому слід довести відповідні теореми.

Теорема 9 (про існування операції віднімання): операція віднімання на множині цілих невід’ємних чисел існує тоді і тільки тоді, коли а³в.

Теорема 10 (про єдиність різниці):якщо різниця двох цілих невід’ємних чисел існує, то вона єдина.

Означення: діленням цілих невід’ємних чисел називається бінарна алгебраїчна операція (якщо вона існує!), яка кожній парі цілих невід’ємних чисел (а,в)єZ_o² ставить у відповідність ціле невід’ємне числоа:в– частку чисел а і в– таке, що (а:в)×в=а.

Із цього означення яскраво видно, що операція ділення на множині цілих невід’ємних чисел є оберненою до операції множення, коли за відомим добутком і одним множником слід знайти інший, невідомий множник. Разом з тим, в означенні нічого не говориться про умови існування, єдиність та правила виконання такої операції. Саме тому слід довести відповідні теореми.

Теорема 11 (про існування операції ділення): операція ділення на множині цілих невід’ємних чисел а і віснує тоді і тільки тоді, коли аділиться націло на в.

Теорема 12 (про єдиність частки):якщо частка цілого невід’ємного числа на натуральне число існує, то вона єдина.

Теореми 9-12 ми доводили, розглядаючи кількісну теорію цілих невід’ємних чисел, а тому тут опустимо ці доведення, бо вони аналогічні до проведених раніше.

МОДУЛЬ ІІІ. «РІЗНІ ПІДХОДИ ДО ПОБУДОВИ АРИФМЕТИКИ ЦІЛИХ НЕВІДЄМНИХ ЧИСЕЛ».

Змістовний модуль 3.3. «Натуральне число як результат вимірювання величини.».

План.

1.Поняття натурального ряду чисел та його відрізка. Лічба елементів скінченої множини. Порядкові і кількісні натуральні числа.

2. Натуральне число як результат вимірювання величини. Натуральне число як міра величини. Натуральне число як міра відрізка.

3. Означення операцій додавання і віднімання чисел, що розглядаються як міри відрізків. Трактування множення і ділення, які розглядаються як міри відрізків.

Література: [1] – c. 124-140; [2] – с. 193-200; [3] – с. 197-229.