Модуль действительного числа

· Определение модуля действительного числа:

· Геометрический смысл модуля действительного числа: — это расстояние от точки x до точки 0 на координатной прямой, (рис. 14).
· Геометрический смысл модуля разности двух действительных чисел: геометрически определяет расстояние между точками x и x0 на координатной прямой, (рис. 15).
Рис. 14	Рис. 15

· Основные свойства модуля действительного числа:

1)

2) ;

3) — неравенство треугольника;

4)

2.3. Стандартные подмножества множества действительных чисел

Стандартными подмножествами множества называются следующие

множества:

— множество натуральных чисел, то есть множество чисел, которые получаются в результате счёта целых предметов;

— множество целых чисел;

— множество рациональных чисел;

— множество иррациональных чисел.

— это универсальное числовое множество для всех других числовых множеств, элементами которых являются действительные числа.

Включения стандартных подмножеств множества показано на рис.16

Рис. 16

,

На множестве натуральных чисел вводятся следующие понятия:

· простые числа — это числа, которые делятся только на себя и на 1;

· составные числа — это числа, которые делятся не только на себя и на 1;

· число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам;

· взаимно простые числа — это числа, не имеющие общих делителей, отличных от 1;

· наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на все эти числа;

· наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел — это наибольшее натуральное число, на которое делятся все эти числа.

О записи действительных чисел

Каждое действительное число x может быть записано бесконечной десятичной дробью.

Например, .

Если число x является рациональным, т.е. , то оно записывается конечной или бесконечной периодической десятичной дробью.

Например, ; ; .

Если число x является иррациональным, т.е. , то оно записывается бесконечной непериодической десятичной дробью.

Например, .

Если в арифметическом выражении участвуют только рациональные числа, то можно найти точное значение такого выражения, выполнив все арифметические операции без погрешностей. Если же в арифметическое выражение входит хотя бы одно иррациональное число, то значение такого выражения находится приближённо.

Например, ; .

2.4. Примеры работы на множестве

Пример 1 (геометрический смысл модуля)

Построить на числовой прямой и записать промежутками следующие множества, используя геометрический смысл модуля разности двух действительных чисел:

a) ; б) ; в) .

Решение

а)

;

пояснения:

— это расстояние от точек х до точки 2;

— это множество точек x, отстоящих от точки 2 на расстоянии, равном 3; состоит из точек и ;

— это множество точек x, отстоящих от точки 2 на расстоянии, меньшем
либо равном 3; оно включает в себя все точки, принадлежащие промежутку .

б)

;

пояснение:

— это множество точек x, отстоящих от точки 2 на расстоянии, большем, чем 3.

в)

;

пояснения:

— это расстояние от точек x до точки –1;

— это множество точек x, отстоящих от точки –1 на расстоянии,
меньшем 2.

Пример 2 (стандартные подмножества множества )

Дано . Найти , , .

Решение

.