Арифметические действия над комплексными числами

Сложение (вычитание) комплексных чисел:

z₁ ± z₂ = (x₁ + iy₁) ± (x₂ + iy₂) = (x₁ ± x₂) + i(y₁ ± y₂), (4)

то есть при сложении (вычитании) комплексных чисел складываются (вычитаются) их действительные и их мнимые части.

Например, 1) (1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i;

2) (1 + 2i) – (2 – 5i) = 1 + 2i – 2 + 5i = –1 + 7i.

Основные свойства сложения комплексных чисел:

1) z₁ + z₂ = z₂ + z₁ — коммутативность;

2) z₁ + z₂ + z₃ = (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃) — ассоциативность;

3) z₁ – z₂ = z₁ + (– z₂) — обратная операция (вычитание);

4) z + (–z) = 0 — сложение противоположных чисел;

5) — сложение комплексно сопряж. чисел.

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме:

z₁∙z₂ = (x₁ + iy₁)∙(x₂ + iy₂) = x₁x₂ + x₁iy₂ + iy₁x₂ + i²y₁y₂ = (x₁x_{2 –} y₁y₂) + i(x₁y₂ + y₁x₂),

то есть умножение комплексных чисел в алгебраической форме проводится по правилу алгебраического умножения двучлена на двучлен с последующей заменой и приведением подобных по действительным и мнимым слагаемым.

Например, 1) (1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i² = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i;

2) (1 + 4i)∙(1 – 4i) = 1 – 4² i² = 1 + 16 = 17;

3) (2 + i)² = 2² + 4i + i² = 3 + 4i.

Умножение комплексных чисел тригонометрической форме:

z₁∙z₂ = r₁(cosj₁ + isinj₁)×r₂(cosj₂ + isinj₂) =
= r₁r₂(cosj₁cosj₂ + icosj₁sinj₂ + isinj₁cosj₂ + i² sinj₁sinj₂) =
= r₁r₂((cosj₁cosj₂ – sinj₁sinj₂) + i(cosj₁sinj₂ + sinj₁cosj₂))

Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме (6)

то есть при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Например,

Основные свойства умножения комплексных чисел:

1) z₁×z₂ = z₂×z₁ — коммутативность;

2) z₁×z₂×z₃ = (z₁×z₂)×z₃ = z₁×(z₂×z₃) — ассоциативность;

3) z₁×(z₂ + z₃) = z₁×z₂ + z₁×z₃ — дистрибутивность относительно сложения;

4) z×0 = 0; z×1 = z; — умножение на ноль и на единицу;

5) — умнож. компл. сопряж.

чисел.

Деление комплексных чисел— это обратная умножению операция, поэтому если z×z₂ = z₁ и z₂ ¹ 0, то .

При выполнении деления в алгебраической форме числитель и знаменатель дроби умножаются на число, комплексно сопряженное знаменателю:

Деление комплексных чисел в алгебраической форме . (5)

При выполнении деления комплексных чисел в тригонометрической форме их модули делятся, а аргументы вычитаются:

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме . (6)

Например, 1) ;

2) .

Возведение комплексного числа в натуральную степень:

возведение комплексного числа в натуральную степень удобнее выполнять в тригонометрической форме:

в результате получается формула Муавра:

Формула Муавра, (7)

то есть при возведении комплексного числа в натуральную степень его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Например, вычислим (1 + i)¹⁰:

Замечание(к операциям умножения и возведения в натуральную степень комплексных чисел)

При выполнении операций умножения и возведения в натуральную степень в тригонометрической форме могут получаться значения углов за пределами одного полного оборота. Но их всегда можно свести к углам или отбрасыванием целого числа полных оборотов по свойствам периодичности функций и .