I.2. Действия над матрицами

На множестве матриц определен ряд операций, основными среди которых являются следующие:

1) транспонирование – замена строк матрицы на столбцы, а столбцов на строки (матрица, транспонированная по отношению к заданной матрице А, обозначается А^Т );

2) умножение матрицы на число производится поэлементно, то есть , где , ;

3) сложение матриц, определенное только для матриц одной размерности;

4) умножение двух матриц, определенное только для согласованных матриц.

Суммой (разностью) двух матриц называется такая результирующая матрица, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов матриц-слагаемых.

Две матрицы называются согласованными, если количество столбцов первой из них равно количеству строк другой. Произведением двух согласованных матриц и называется такая результирующая матрица , что

, (1.4)

где , _. Отсюда следует, что элемент -ой строки и -го столбца матрицы равен сумме попарных произведений элементов -ой строки матрицы на элементы -го столбца матрицы . Произведение матриц не коммутативно, то есть . Исключение составляет, например, произведение квадратных матриц на единичную .

Пример 1.2. Перемножить матрицы A и B, если:

.

Решение. Так как матрицы согласованные (количество столбцов матрицы равно количеству строк матрицы ), то воспользуемся формулой (1.4):

Пример 1.3. Стоимость энергоресурсов, потребляемых молокоцехом за 2006 и 2007 год на производство трех видов продукции, занесена в таблицу 1.

Таблица 1

Нормы годовых затрат на энергоресурсы, используемых на одну тонну каждого вида продукции молокоцеха, заданы таблицей 2.

Таблица 2

Определить общую стоимость энергоресурсов за 2006 и 2007 год, используемых на производство каждого вида продукции молокоцеха (творога, кефира и молока).

Решение. Согласно таблице 1 матрица стоимости энергоресурсов по заданным годам имеет вид: . Согласно таблице 2 матрица норм годовых затрат на энергоресурсы имеет вид: .

В этом случае стоимость ресурсов по годам на тонну продукции определяется как произведение матриц , где ­– транспонированная матрица :

=

.

Итак, стоимость всех энергоресурсов, используемых молокоцехом на производство одной тонны каждого вида продукции по годам, представляет собой транспонированную матрицу и образует таблицу 3.

Таблица 3

Виды продукции	2006 год	2007 год
Творог	306,1148	330,5263
Кефир	237,8034	254,1352
Молоко	53,3598	57,3335

Вопросы для самопроверки.

1. Какие действия осуществляются над матрицами?

2. Что называется суммой (разностью) двух матриц?

3. Что называется произведением двух матриц?