Модуль, аргумент и тригонометрическая форма комплексного числа

Модулем комплексного числа называется неотрицательное действительное число r, вычисляемое по формуле

. (1)

Геометрически модуль комплексного числа — это длина радиус-вектора, изображающего число z, или полярный радиус точки (x; y), (рис. 79).

Аргумент комплексного числа z— это угол между положительным направлением действительной оси и вектором z (геометрически – это полярный угол точки (x; y)).

Обозначение ,причем или , (рис. 79).

Формула для вычисления аргумента комплексного числа имеет вид

Аргумент комплексного числа , (2)

причем, при определении угла по его тангенсу обязательно нужно учитывать, в какой четверти на комплексной плоскости расположено число z:

Замечание (к определению аргумента комплексного числа)

Значение , называют главным значением аргументакомплексного числа ; при этом значения всех возможных углов обозначают ; очевидно, что , .

Так как геометрически очевидно (рис. 79), что и , то

Тригонометрическая форма комплексного числа . (3)

Запись z = x + iy называется алгебраической формой комплексного числа z; запись z = r(cosj + i sinj) называется тригонометрической формой комплексного числа z, при этом .

Примеры (геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексных чисел)

Изобразим на комплексной плоскости следующие числа и запишем их в тригонометрической форме:

1) z = 1 + i Þ , Þ Þ ;
2) Þ , Þ Þ ;
3) Þ , Þ Þ ;
4) , ;
5) , ;   6) , то есть для z = 0 будет , j не определен.