Корень натуральной степени из комплексного числа

Корнем степени n из комплексного числа z, где , называется комплексное число w, такое что

.

Например, 1) , так как ;

2) , так как ;

3) или , так как и .

Из определения очевидно следует, что операция извлечения корня из комплексного числа является многозначной.

Если использовать формулу Муавра, то нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема о значениях корня из комплексного числа

Корень натуральной степени существует для любого комплексного числа и если ¹ 0, то имеет различных значений, вычисляемых по формуле Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа (8)   где , — значение арифметического корня на .

Геометрически, все значения расположены регулярным образом на окружности радиусом с начальным углом и углом регулярности .

Примеры (вычисление корня из комплексных чисел)

1) , k = 0, 1, 2 Þ

,
,
.

2)

,

, .

Нетрудно показать, что корень квадратный существует на множестве комплексных чисел для любых и имеет два противоположных значения при : .