Следствие. Многочлен с действительными коэффициентами нечетной степени имеет нечетное число действительных корней.

Пусть и корни Тогда делится на и но так как у и нет общих делителей, то делится на прозведение .

Утверждение 2. Многочлен с действительными коэффициентами степени всегда разлагается на множестве действительных чисел в произведение линейных многочленов, отвечающих его вещественным корням, и многочленов 2-ой степени, отвечающих паре сопряженных комплексных корней.

При вычислении интегралов от рациональных функций нам понадобится представление рациональной дроби в виде суммы простейших.

Рациональной дробью называется дробь где и ‑ многочлены с действительными коэффициентами, причем многочлен . Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Если рациональная дробь не является правильной, то, произведя деление числителя на знаменатель по правилу деления многочленов, ее можно представить в виде , где и – некоторые многочлены, а – правильная рациональная дробь.

Лемма 1. Если – правильная рациональная дробь, а число является вещественным корнем кратности многочлена , т.е. и , то существует вещественное число и многочлен с вещественными коэффициентами, такие, что где дробь также является правильной.

При этом несложно показать, что полученное выражение является рациональной дробью с вещественными коэффициентами.

Лемма 2. Если – правильная рациональная дробь, а число ( и – вещественные, ) является корнем кратности многочлена , т.е. и , и если , то существуют вещественные числа и и многочлен с вещественными коэффициентами, такие, что где дробь также является правильной.

Рациональные дроби вида , , , , ‑ трехчлен с действительными коэффициентами, не имеющий действительных корней, называются простейшими (или элементарными) дробями.

Всякая правильная рациональная дробь представима единственным образом в виде суммы простейших дробей.

При практическом получении такого разложения оказывается удобным так называемый метод неопределенных коэффициентов. Он состоит в следующем:

· Для данной дроби пишется разложение, в котором коэффициенты считаются неизвестными ;

· После этого обе части равенства приводятся к общему знаменателю и у получившихся в числителе многочленов приравниваются коэффициенты.

При этом если степень многочлена равна , то в числителе после приведения к общему знаменателю получается многочлен степени , т.е. многочлен с коэффициентами.