Понятие квадратичной формы

Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнением второго порядка, содержащими две или три переменные, Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовали построения общей теории, когда число переменных равно любому , а коэффициенты квадратичной формы не всегда являются вещественными числами.

Квадратичной формой от неизвестных называется сумма, каждое слагаемое которой является либо квадратом одного из неизвестных, либо произведением двух разных неизвестных.

Пример.Сумма является квадратичной формой от трех неизвестных .

Каждую квадратичную форму можно записать в стандартном виде. Для этого сначала приводятся подобные в квадратичной форме, затем коэффициенты при обозначаются через , а коэффициенты при через , причем Член записывается в виде . После этих преобразований квадратичную форму можно записать в виде:

Матрица:

называется матрицей квадратичной формы . Так как , то – симметричная матрица.

С учетом правила умножения матриц можно вывести матричную форму записи квадратичной формы.

,

где – матрица квадратичной формы, – матрица–столбец неизвестных:

Приведенные выкладки показывают, в частности, что если – симметрическая матрица, то выражение является квадратичной формой от неизвестных , т.е. квадратичная форма является результатом скалярного произведения матриц и . Матричная форма записи квадратичной формы имеет вид . Если – произвольный – мерный вектор, то после подстановки в квадратичную форму вместо получится число , которое называется значением квадратичной формы на векторе .