Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы
Теорема. Ортонормированный базис пространства , состоящий из собственных векторов симметрической матрицы , , является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение – ее каноническим видом в базисе .
Доказательство:
, если , так как – ортогональная система векторов – канонический базис квадратичной формы .
, так как векторы системы нормированы, то , .
Канонический базис Якоби квадратичной формы
Будем говорить, что матрица удовлетворяет условию Якоби, если определители:
, ,
называемые угловыми минорами матрицы ,не равны нулю. Очевидно, что , .
Обозначим через матрицу:
.
Вычислим определитель этой матрицы, разлагая ее по последнему столбцу, затем также по последнему столбцу разложим полученный определитель и т.д.
Из условия , следует, что и, значит, каждая система уравнений , , где – –й вектор диагональной системы, имеет единственное решение , . Система векторов называется системой векторов Якоби матрицы , которая удовлетворяет условию Якоби.
Теорема. Если матрица квадратичной формы удовлетворяет условию Якоби, то система векторов Якоби матрицы является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение:
Дата добавления: 2015-10-09; просмотров: 1073;