Интерполяционный многочлен Лагранжа. Для произвольно заданных узлов интерполирования пользуются более общей формулой, так называемой интерполяционной формулой Лагранжа.

Для произвольно заданных узлов интерполирования пользуются более общей формулой, так называемой интерполяционной формулой Лагранжа.

Пусть на отрезке даны n+1 различных значений аргумента: , и известны значения для функции . Нам нужно построить многочлен .

Решим сначала частную задачу, построив полином такой, что .

Т.к. искомый полином обращается в нуль в n точках , то он имеет вид:

, (5.1)

где - постоянный коэффициент. Полагая в формуле и учитывая, что , получим:

.

Отсюда .

Вернемся к выражению (5.1):

.

Тогда полином Лагранжа имеет следующий вид:

.

Докажем единственность полинома Лагранжа.

Предположим противное. Пусть - полином, отличный от , степень его не выше n и . Тогда полином , степень которого, очевидно, не выше n, обращается в нуль в n+1 точках , т.е. . Следовательно, .

При равноотстоящих точках таблицы x_i многочлен Лагранжа совпадает с многочленом Ньютона такой же степени.