Интерполяционная формула Ньютона №2

Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна для интерполирования вблизи конца таблицы. В этом случае обычно применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.

Пусть имеем систему значений функции для равноотстоящих значений аргумента , где . Построим интерполирующий полином следующего вида:

,

где . Подставляя эти значения в формулу и полагая получим:

- второй многочлен Ньютона.

Остаточный член второй интерполирующей формулы Ньютона имеет вид:

,

где - некоторая внутренняя точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы и точку .

Для неограниченной таблицы значений функции y число n в интерполяционной формуле может быть любым, поэтому практически его выбирают так, что бы разность была постоянной с заданной степенью точности. В этом случае остаточный член удобней вычислять по формуле:

.

Если таблица значений функции конечна, то число n не может быть больше числа значений функции минус единица.

Пример 5.2. Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью первого или второго интерполяционного многочлена Ньютона . Вычислить остаточный член.

Дана таблица значений функции y_iс постоянным шагом 0,005

Требуется определить значения функции y(x) при следующих значениях аргумента

x₁= 1.2173; x₂= 1.253; x₃= 1.210; x₄= 1.270.

Составим таблицу конечных разностей.

При вычислении разностей ограничиваемся разностями второго порядка, так как они практически постоянны. При х = 1.2173 и х = 1.210 пользуемся формулой Ньютона №1:

где q = (x-x0)/h.

Если x = 1.2173, то q = (1.2173-1.215)/0.005= 0.46;

P1(1.2173)=0.106044+0.46·0.000447=0.106044+0.0002056=0.106250

Если x = 1.210, то q = (1.210-1.215)/0.005= -1;

P1(1.210)= 0.106044+(-1)·0.000447=0.105597

P2(1.210)= P1(1.210)+ R1=0.105600

При x = 1.253 и x = 1.270 пользуемся второй формулой Ньютона:

где q = (x-xn)/h.

Если x = 1.253, то q = (1.253 - 1.250)/0.005 = 0.6;

P1(1.253)=0.109134+0.6·0.000438=0.109134+0.000263=0.1093968

Если x = 1.270, то q = (1.270 - 1.260)/0.005 = 2;

P₁(1.270)=0.110008+2·0.000437=0.110008+0.000874=0.110882

Ответ: f (1.2173) » 0.106250; f (1.253) ·» 0.109397; f (1.210) » 0.105597;

f (1.270) » 0.110882.