Вычисление лагранжевых коэффициентов
(5.2)
Можно записать лагранжевы коэффициенты и более компактно: , (5.3)
где .
Формула Лагранжа при этом имеет вид .
Для вычисления лагранжевых коэффициентов может быть использована приведенная ниже схема. Сначала располагаем в таблицу разности
Таблица 5.3.
Таблица разностей
Обозначим произведение элементов первой строки через D0, второй – D1и т.д. Произведение же элементов главной диагонали, очевидно, будет . Отсюда следует, что
.Следовательно,
.
Пример 5.3 Выполнено в Mathcad
Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лангранжа, если функция задана в неравно- отстоящих узлах таблицы.
Рис 5.2. Решения примера 5.3 в Mathcad
Отметим, что форма лагранжевых коэффициентов инвариантна относительно целой линейной подстановки (a,b – постоянны ). Действительно, положив в формуле (5.2):
, , ,
после подстановки и сокращения числителя и знаменателя на an, получим:
или
,
где , что и требовалось доказать.
В случае равноотстоящих точек лагранжевы коэффициенты могут быть приведены к более простому виду.
В самом деле, полагая , будем иметь: . Отсюда
и
.
Тогда ,
где . Отсюда можно записать:
(5.4)
где
Пример 5.4 Выполно в Mathcad.
Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана в равноотстоящих узлах таблицы
Рис 5.3. Решения примера 5.4 в Mathcad
Дата добавления: 2015-10-09; просмотров: 895;