Итерационные методы для обратного интерполирования

Если функция y = f(x) задана таблицей с равноотстоящими узлами, то записываем для нее один из интерполяционных многочленов, например первый интерполяционный многочлен Ньютона:

(5.4)

Рассматривая последнее выражение как уравнение относительно q, находим q по заданному значению y, а затем вычисляем x=x₀+qh

Если число узлов велико, то получим алгебраическое уравнение высокой степени, при решении которого удобно применять метод итераций. Запишем уравнение (5.4) в виде

(5.5)

За начальное приближение принимаем ,

а затем применяем процесс итерации

В большинстве случаев при достаточно малом шаге h = x_i+1-x_i процесс итерации сходится к искомому корню.

Условием сходимости является выполнение неравенства

На практике считают до тех пор, пока два последовательных значения q_k и q_k+1 не совпадут с заданной точностью.

Пример 5.6 Используя таблицу значений функции y = sh x найти x при котором sh x=5.

Таблица 5.5.

Значения функции y = sh x

Составляем первый интерполяционный многочлен Ньютона, останавливаясь на разностях третьего порядка, которые практически уже постоянны:

Полагаем x₀ = 2.2, так как заданное значение y = 5 находится между y₀ = 4.457 и y₁ = 5.466. Итерирующая функция имеет вид

Начальное приближении

Затем последовательно находим

Таким образом, мы можем принять q = 0.564 и

x = 2.2+0.564*0.2 = 2.313

с точностью до 0.001.