Интерполирование с помощью многочленов

Рассмотрим задачу интерполирования функции f с помощью алгебраических многочленов. В этом случае аппроксимирующая функция имеет вид

. (4.1)

Выбор конкретного значения n во многом определяется свойствами аппроксимируемой функции, требуемой точностью, а также узлами интерполирования. На выбор величины n существенное влияние оказывает и вычислительный процесс, привносящий в результат дополнительную погрешность.

В качестве критерия согласия принимается условие совпадения и f в узловых точках. Для однозначного определения n+1 коэффициентов многочлена необходимо потребовать совпадения f и в (n+1)-й узловой точке:

(i = 0,1,…,n) (4.2)

Многочлен , удовлетворяющий условиям (3.2), называется интерполяционным многочленом. Чтобы подчеркнуть зависимость этого многочлена от функции f, его часто обозначают .

Под погрешностью интерполяции в случае, когда необходимо вычислить значение функции f(x) в одной точке , понимают абсолютную величину разности между точным и приближенным значениями:

. (4.3)

В том же случае, когда интерполяция производится на всем отрезке , в качестве погрешности принимается максимальное отклонение многочлена от функции f на рассматриваемом отрезке:

.

Итак, рассмотрим следующую задачу интерполирования. На сетке в узлах заданы значения (i = 0,1,….,n) функции f. Требуется построить интерполяционный многочлен , совпадающий с f в узлах , и оценить погрешность .

Теорема 1. Пусть:

1) на отрезке [a,b] заданна сетка ;

2) заданны произвольные числа (i=0,1,…,n).

Тогда существует единственный многочлен степени не выше n, принимающий в узлах заданные значения

Из условий для определения неизвестных коэффициентов многочлена получаем систему алгебраических уравнений

(i=0.1,….,n) (4.4)

Определитель этой системы

(4.5)

есть определитель Вандермонда, который отличен от нуля при условии при .

Коэффициенты интерполяционного многочлена (4.1) можно определить, положив в системе (4.4) и решив ее, например, по формуле Крамера:

.

Здесь - определитель, получающийся из W заменой столбца членов, содержащих (n-k)-ю степень (i=0,1,…,n), на столбец свободных членов системы (3.4)

. (4.7)

Подставив полученные значения коэффициентов в равенство (4.1), приходим к новой форме представления интерполяционного многочлена :

(4.8)

На практике обычно используются интерполяционные многочлены первой и второй степеней. При этом говорят о линейной и квадратичной интерполяции.

Пример 1. По узлам и соответствующим значениям функции построить интерполяционный многочлен, представив его в виде линейной комбинации значений .

Согласно формуле (4.8) имеем

Разложив определитель по элементам 1-го столбца, получим

Учитывая, что

,

окончательно находим