С разделяющимися переменными

Пусть x – независимая переменная, y(x) – функция от переменной x, заданная на некотором промежутке.

Дифференциальным уравнением (обыкновенным дифференциальным уравнением) называется уравнение, связывающее независимую переменную x, функцию y(x) и ее производные.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в него.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид:

(22.1)

где F – некоторое выражение относительно x, искомой функции y(x) и ее производной, заданное в области

Если дифференциальное уравнение разрешено относительно производной функции, то его общий вид:

(22.2)

где f – некоторое выражение относительно x и y, В таком случае говорят, что дифференциальное уравнение записано в нормальном виде.

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция которая обращает это уравнение в тождество.

Поиск решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения, а график этого решения – интегральной кривой.

Начальным условием (условием Коши) называется условие которым задается дополнительное требование на решение y(x) дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения (22.2) в области называется функция удовлетворяющая условиям:

1) является решением данного дифференциального уравнения при любом значении произвольной постоянной С;

2) для любого начального условия такого, что существует единственное значение при котором решение удовлетворяет начальному условию.

Общее решение заданное в неявном виде, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется всякое решение, полученное из общего при конкретном значении

Задачей Коши называется задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию Геометрически общему решению на координатной плоскости соответствует семейство интегральных кривых зависящее от числового параметра С, а частному решению – определенная интегральная кривая, проходящая через точку

Теорема Коши. Если функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывную производную в области D, то решение дифференциального уравнения (22.2) при начальном условии существует и единственно.

Решение дифференциального уравнения, во всех точках которого не выполняется условие единственности, называется особым решением. Особое решение не может быть получено из общего решения дифференциального уравнения ни при каком значении произвольной постоянной C.

Дифференциальное уравнение вида

(22.3)

где – функции переменной x, – функции переменной y, называется уравнением с разделяющимися переменными.

Для решения уравнения (22.3) предполагают и Почленным делением уравнения (22.3) на его сводят к уравнению

(22.4)

которое в левой части содержит выражение только от переменной x, а в правой – только от переменной y (этим объясняется название данного типа дифференциальных уравнений). Далее интегрируют равенство (22.4) (слева – по переменной x, а справа – по y) и получают общее решение.

Ограничения могут привести к потере решений, поэтому следует решить уравнения и и установить подстановкой в заданное дифференциальное уравнение, являются ли они решением дифференциального уравнения. Затем необходимо определить, входят ли они в общее решение (или являются особыми).

Пример 1. Доказать, что функция является решением дифференциального уравнения

Решение. Продифференцируем функцию: Подставим ее в заданное дифференциальное уравнение:

В итоге получаем тождество

или

Это доказывает, что функция является решением заданного дифференциального уравнения.

Пример 2. Доказать, что равенство является общим интегралом дифференциального уравнения

Решение. Вычислим производную неявной функции по формуле

поскольку то

Подставим и в заданное дифференциальное уравнение:

Получили тождество что и доказывает требуемое.

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения:

1) 2) 3)

Решение. 1) Используем то, что и запишем исходное дифференциальное уравнение в виде

или

Так как для всех то преобразуем уравнение к виду

Интегрируем последнее равенство: Получаем – общее решение заданного дифференциального уравнения.

2) Предполагаем, что а так как для всех то преобразуем заданное дифференциальное уравнение к виду

Интегрируем последнее равенство:

Получаем:

Произвольную константу записали в форме lnC для удобства дальнейших преобразований:

т. е.

Заметим, что преобразования аналитических выражений производятся с точностью до константы C.

Таким образом, – общее решение исходного дифференциального уравнения.

Проверяем, является ли решением Подставляем в заданное дифференциальное уравнение и видим, что является решением дифференциального уравнения. Однако оно не является особым, так как получается из общего решения при

Приходим к ответу:

– общее решение, С = const.

3) Используя то, что запишем уравнение в виде

Предполагаем, что и преобразуем уравнение к виду Используя формулу тригонометрии интегрируем последнее равенство:

Имеем:

или

Таким образом, получаем – общее решение исходного дифференциального уравнения.

Проверяем, дает ли равенство особые решения. Получаем, – это есть особые решения исходного дифференциального уравнения. Таким образом, решение заданного дифференциального уравнения:

Пример 4. Известно, что решением некоторого дифференциального уравнения является семейство парабол Определить это дифференциальное уравнение.

Решение. Дифференцируя равенство имеем

(22.5)

Выразим C из уравнения параболы: Подставив найденное значение С в уравнение (22.5), получим т. е.

(22.6)

Заданное семейство парабол является решением дифференциального уравнения (22.6).

Пример 5. Доказать, что является общим интегралом дифференциального уравнения Определить частные интегралы, если известно, что интегральные кривые проходят соответственно через точки (0, – 1) и (2, 0), построить эти кривые.

Решение. Вычислим производную неявной функции по формуле

где

Тогда Подставим и в заданное дифференциальное уравнение:

или

Получили тождество Это доказывает, что заданная неявно функция является общим интегралом исходного дифференциального уравнения. Для нахождения частных интегралов и проходящих через заданные точки интегральных кривых подставляем координаты этих точек в общий интеграл и определяем соответствующие константы.

Для точки (0, – 1) получаем: или Для точки (2, 0) получаем: или Тогда частными интегралами будут:

Интегральными кривыми являются концентрические окружности с центром в точке и радиусами 2 и 1 соответственно. Это видно, если в полученных частных интегралах выделить полный квадрат по x и по y: