К однородным
Дифференциальное уравнение вида
(22.7)
называют однородным, если обе функции и являются однородными функциями одной и той же степени n, т. е. для параметра t выполняются:
Однородное уравнение может быть сведено к виду
(22.8)
где – некоторое выражение относительно
Для решения однородного уравнения его сводят вначале к виду (22.8), а затем заменяют где Этой заменой дифференциальное уравнение (22.8) приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Иногда целесообразнее сделать замену где
Дифференциальное уравнение вида
(22.9)
при определенных значениях сводится к однородному уравнению. Рассмотрим три возможных случая коэффициентов:
1. Если то делают замену переменных:
(22.10)
где числа и находят как решение системы уравнений
(22.11)
Этой заменой дифференциальное уравнение (22.9) сводится к уравнению
Далее его решают как однородное.
2. Если то уравнение (22.9) записывают в виде
и затем заменяют где Эта замена приводит к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.
3. Если то имеем
т. е. Далее интегрируют.
Пример 1. Решить уравнение:
1) 2)
3)
Решение. 1) Так как
то и – однородные функции первой степени.
Делаем замену. Очевидно, что делением на уравнение сводится к виду т. е. или Заменяем где откуда и Подставляя в исходное дифференциальное уравнение, получаем: т. е.
Разделяем переменные (при условии ): Интегрируем: или Отсюда
Возвращаемся к старым переменным, подставляем вместо z выражение Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения имеет вид:
Рассмотрим отдельно возможные решения и которые мы исключали. В последнем случае имеем т. е. Подставляем и в заданное дифференциальное уравнение и убеждаемся, что они также являются его решениями. При этом решение содержится в формуле общего интеграла при Решение не содержится в полученной формуле общего интеграла. Поэтому окончательное решение:
2) Разделив дифференциальное уравнение на x получаем: – это однородное дифференциальное уравнение. После замены где имеем
Далее приводим подобные и разделяем переменные, считая т. е. Получаем Интегрируем и получаем
Возвращаемся к старым переменным, получаем общее решение:
Анализируем, являются ли решениями и т. е. Подставляем в заданное дифференциальное уравнение и убеждаемся, что не является решением заданного дифференциального уравнения, а являются решениями, которые не входят в полученное общее решение. Приходим к решению исходного дифференциального уравнения:
3) Запишем заданное уравнение в виде
Делим его на y
(22.12)
Делаем замену где т. е. и После подстановки в уравнение (22.12) получаем:
т. е.
После упрощения имеем
Делим переменные:
Интегрирование дает:
или
Возвращаемся к старым переменным, используя Тогда общий интеграл имеет вид:
Пример 2. Решить задачу Коши:
1)
2)
Решение. 1) Это однородное уравнение. Разделив заданное уравнение на получаем:
Делаем замену где
или, приведя подобные,
Разделяем переменные:
Интегрируем последнее уравнение:
т. е., используя свойства логарифма, имеем
Возвращаясь к старым переменным, получаем: – общий интеграл исходного уравнения.
Подставляем в него начальные условия и находим С:
или
Значит, решением задачи Коши является
2) Это уравнение однородное. Разделив его на x получаем:
Делаем замену где
Приводим подобные:
или
Разделяем переменные, считая
(22.13)
Далее интегрируем уравнение (22.13) и получаем:
Используем свойства логарифма и получаем:
Возвращаемся к старым переменным:
или
Отсюда получаем:
– общий интеграл заданного уравнения. Подставив в него начальные условия: получим
Решение задачи Коши:
Пример 3. Найти решение дифференциального уравнения:
1) 2) 3)
Решение. 1) Это уравнение не является однородным, но сводится к однородному дифференциальному уравнению. Так как т. е. сделаем замену переменных по формуле (22.10):
(22.14)
Числа и найдем из системы уравнений (22.11):
откуда
Тогда система уравнений (22.14) примет вид
Подставив эту замену в заданное уравнение, получим:
или
– однородное дифференциальное уравнение.
Сделаем замену переменных: где Подставив ее в последнее уравнение, получим:
или
Разделим переменные, полагая получим:
Преобразуем дробное выражение представив его в виде суммы простейших дробей:
Тогда получаем:
Интегрируем последнее уравнение:
Возвращаемся к старым переменным:
После упрощения получаем: – общий интеграл заданного дифференциального уравнения.
Кроме того, решением исходного дифференциального уравнения будет или и
Решение входит в общий интеграл при С = 0. Таким образом, искомое решение дифференциального уравнения
2) Так как то заданное уравнение приводится к уравнению .
Заменяем где
Получим:
Разделяем переменные:
или (считаем ), т. е.
Интегрируем:
Возвращаемся к старым переменным и получаем общий интеграл:
Кроме того, решением исходного дифференциального уравнения будет или т. е. Таким образом, искомое решение дифференциального уравнения:
3) Так как т. е. то заданное уравнение сводится к уравнению
После сокращения имеем Интегрируем и получаем общее решение исходного дифференциального уравнения:
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 698;