Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение вида

(22.33)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции т. е.

(22.34)

Тогда уравнение (22.33) равносильно уравнению общий интеграл которого определяется формулой

(22.35)

где С – произвольная постоянная.

Для того чтобы дифференциальное уравнение (22.33) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество

(22.36)

при условии, что и – непрерывны.

При решении уравнения (22.33) следует сделать следующее:

1) проверить выполнение равенства (22.36);

2) если равенство (22.36) выполняется, следует определить функцию из системы уравнений

(22.37)

3) общий интеграл уравнения (22.33) получают в виде (22.35).

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:

1) 2)

Решение. 1) Это уравнение вида (22.33), где Проверим выполнение условия (22.36):

Значит, заданное уравнение – в полных дифференциалах. Определим функцию u(x, y) из системы уравнений (22.37)

(22.38)

Интегрируем первое уравнение по x, считая y постоянной величиной:

(22.39)

где в качестве произвольной постоянной относительно переменной x выступает функция которую нужно найти. Для этого функцию (22.39) дифференцируем по y:

Правую часть полученного равенства приравниваем к правой части второго уравнения системы (22.38):

откуда получаем

Интегрируем последнее равенство:

где

Подставляем найденную функцию C(y) в (22.39):

Согласно формуле (22.35), получаем:

где т. е.

– общий интеграл заданного дифференциального уравнения.

2) В заданном примере имеем Значит, это уравнение в полных дифференциалах. Найдем функцию u(x, y) из системы уравнений

(22.40)

Интегрируем первое уравнение системы:

т. е.

где C(y) – функция от y, которую надо найти. Дифференцируем последнее равенство по y:

Используя полученное равенство и второе равенство системы (22.40), приравниваем их правые части:

или

Интегрированием получаем далее

где

Тогда

Общий интеграл заданного дифференциального уравнения:

Пример 2. Решить задачу Коши:

1)

2)

Решение. 1) В заданном примере Значит, это уравнение в полных дифференциалах. Найдем функцию u(x, y) из системы уравнений

(22.41)

Интегрируем первое уравнение системы:

Получаем:

где C(y) – функция от y, которую надо найти. Дифференцируем последнее равенство по y:

Используем полученное равенство и второе равенство системы (22.41), приравниваем их правые части:

или

Интегрированием получаем:

где

Тогда общий интеграл заданного дифференциального уравнения имеет вид:

где

Используем начальное условие и находим константу C:

или

Поэтому решением задачи Коши является

2) Проверяем условие (22.36): значит, заданное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Находим функцию u(x, y) из системы уравнений

(22.42)

Интегрируем первое уравнение системы:

Получаем:

где C(y) – неизвестная функция от y, которую надо найти. Дифференцируем последнее равенство по y:

Используя полученное равенство и второе равенство системы (22.42), приравниваем правые части:

или

Интегрированием получаем:

где

Тогда общий интеграл заданного дифференциального уравнения имеет вид:

где

Используя начальное условие находим константу С:

или

Тогда решением задачи Коши является:

или