Выбор формы уравнения регрессии

Различают следующие виды уравнений множественной регрессии: линейные, нелинейные, сводящиеся к линейным, и нелинейные, не сводящиеся к линейным (внутренне нелинейные). В первых двух случаях для оценки параметров модели применяются классического линейного регрессионного анализа. В случае внутренне нелинейных уравнений для оценки параметров приходится применять методы нелинейной оптимизации.

Основное требование, предъявляемое к уравнениям регрессии, заключается в наличии наглядной экономической интерпретации модели и ее параметров.

Исходя из этих соображений, наиболее часто используются линейная и степенная зависимости.

Линейная множественная регрессия имеет вид

(14.4)

Параметры при факторах называются коэффициентами «чистой» регрессии. Они показывают, на сколько единиц в среднем изменится результативный признак y за счет изменения соответствующего фактора на единицу при неизмененном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Предположим, например, что зависимость спроса на товар ( ) от цены (P) и дохода (I) характеризуется следующим уравнением:

.

Коэффициенты данного уравнения говорят о том, что при увеличении цены на единицу, спрос уменьшится в среднем на 0,12 единиц измерения спроса, а при увеличении дохода на единицу, спрос возрастет в среднем 0,23 единицы.

Параметр а в (14.4) не всегда может быть содержательно проинтерпретирован.

Степенная множественная регрессия имеет вид

(14.5)

Параметры (степени факторов ) являются коэффициентами эластичности. Они показывают, на сколько процентов в среднем изменится результативный признак y за счет изменения соответствующего фактора на 1 % при неизмененном значении остальных факторов.

Наиболее широкое применение этот вид уравнения регрессии получил в производственных функциях, а также при исследовании спроса и потребления.

Например, зависимость выпуска продукции Y от затрат капитала K и труда L:

говорит о том, что увеличение затрат капитала K на 1 % при неизменных затратах труда вызывает увеличение выпуска продукции Y на 0,23 %. Увеличение затрат труда L на 1 % при неизменных затратах капитала K вызывает увеличение выпуска продукции Y на 0,81 %.

Экономический смысл имеет также сумма коэффициентов каждого фактора (сумма эластичностей) . Эта величина дает обобщенную характеристику эластичности производства.

Если значение b > 1, то говорят, что функция имеет возрастающий эффект от масштаба производства. Значение b = 1 говорит о постоянном масштабе производства. Если значение b < 1, то имеет место убывающий эффект от масштаба производства.

Если один и тот же фактор вводится в регрессию в разных степенях, то каждая степень рассматривается как самостоятельный фактор. Например, если в нелинейной модели с двумя факторами .

,

величины рассматривать как новые дополнительные факторы, то, используя замену переменных , ее можно привести к линейному уравнению регрессии с четырьмя факторами:

.