Типы уравнений, допускающие понижение порядка

Уравнение вида

(22.46)

или разрешенное относительно n-йпроизводной

(22.47)

решается последовательным интегрированием n раз.

Уравнение вида

(22.48)

не содержащее явно искомой функции y и первых ( )-х ее производных, решают с помощью замены где Таким образом, порядок исходного уравнения (22.48) понижается на k единиц.

Приходят к уравнению

Полученное уравнение решают далее в зависимости от его типа.

Уравнение вида

(22.49)

не содержащее явно независимой переменной x, решают с помощью замены

где

Этой заменой порядок исходного уравнения понижается на единицу, поскольку (функцию z(y) дифференцировали по x как сложную). Аналогично выражают и т. д.

Уравнение вида

(22.50)

называется однородным относительно искомой функции y и ее производных если функция F однородна относительно т. е.

где m – степень однородности,

– произвольное число.

Для решения используется замена где понижающая порядок исходного уравнения на единицу.

Пример 1. Найти общее решение уравнения:

1) 2)

3) 4)

Решение. 1) Заданное уравнение имеет 3-й порядок. Это дифференциальное уравнение типа (22.47). Проинтегрируем последовательно три раза:

– произвольные постоянные. Полученная функция и есть общее решение исходного уравнения.

2) Это уравнение 2-го порядка, не содержащее явно искомой функции y, т. е. типа (22.48). Делаем замену где Дифференцируем замену еще раз, получаем Подставляем выражения и в исходное уравнение:

(22.51)

Получили уравнение с разделяющимися переменными:

В результате интегрирования имеем: откуда – общее решение уравнения (22.51).

Возвращаемся к старым переменным:

– уравнение первого порядка. Интегрируем его:

Получаем – общее решение исходного уравнения.

3) Это уравнение 2-го порядка, не содержащее явно независимой переменной x, т. е. типа (22.49). Делаем замену где Дифференцируем замену по x как сложную функцию, получаем: Подставляем выражения для и в исходное уравнение:

(22.52)

Уравнение (22.52) – это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

или

Далее интегрируя, имеем:

откуда

– общее решение уравнения (22.52).

Возвращаемся к старым переменным, получаем – уравнение с разделяющимися переменными. Тогда

или

Интегрируем:

или – общее решение исходного дифференциального уравнения.

4) Это уравнение 2-го порядка, однородное относительно и так как

где – произвольное число.

Это уравнение типа (22.50). Делаем замену где отсюда получаем:

(22.53)

Дифференцируем это равенство еще раз:

С учетом (22.53) получаем:

Подставляем выражения для и в исходное уравнение:

Делим его на

После упрощения имеем уравнение

Делим его почленно на

(22.54)

Получили линейное уравнение 1-го порядка. Решаем его, например, методом Бернулли:

Тогда (22.54) примет вид:

т. е.

Полагаем откуда

Интегрирование приводит к равенству

Тогда имеем:

– искомая функция v.

Далее имеем:

т. е. что означает

Отсюда

Возвращаемся к старым переменным:

или

Интегрируем:

используя свойства логарифма, получаем:

или

Таким образом, – общее решение исходного уравнения.

Пример 2. Найти частное решение уравнения:

Решение. 1) Заданное уравнение имеет 2-й порядок. Делаем замену Тогда и заданное уравнение принимает вид:

Получили дифференциальное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными. Решаем его:

или

Возвращаясь к старой переменной, получим:

Определим константу из начального условия Тогда или Таким образом, Интегрируем и получаем:

Определяем из 2-го начального условия: т. е.

Частным решением исходного дифференциального уравнения является функция

2) Это уравнение 2-го порядка, не содержащее явно переменную x. Делаем замену Тогда и заданное уравнение примет вид Получили уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными. Интегрируем его: