линейных однородных уравнений
1. Любому простому действительному корню характеристического уравнения (22.81) соответствует решение
где коэффициенты определяют из системы (22.80) при найденном т. е.
(22.82)
Тогда общее решение системы (22.78) записывают в виде
где – произвольные постоянные.
2. Каждому комплексному корню и ему сопряженному соответствуют два линейно-независимых действительных решения. Для построения этих решений находим комплексное решение по формуле (22.79) для корня как и в случае 1, и выделяем действительную и мнимую части этого решения (корень уже не рассматриваем, так как новых решений системы (22.78) он не дает).
3. Если – корень кратности k, то решение, соответствующее этому корню, ищут в виде
(22.83)
где – многочлен с неопределенными коэффициентами степени
Чтобы найти коэффициенты многочленов подставляем решение (22.83) в систему (22.78) и приравниваем коэффициенты подобных членов в левой и правой частях уравнений. Выразив все коэффициенты через любые k, полагаем по очереди один из них равным единице, а остальные равными нулю.
Пример 1. Решить систему однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
1) 2)
Решение. 1) Характеристическое уравнение системы имеет вид:
Вычисляя определитель, получаем откуда – простые действительные корни. Частные решения системы ищем в виде
При система (22.82) имеет вид:
Эта система имеет бесконечное множество решений. Для определенности положим тогда Получаем частные решения:
При система (22.82) принимает вид:
Положим тогда
Значит, корню соответствуют частные решения:
Общее решение исходной системы запишется в виде
2) Характеристическое уравнение системы
которое приобретает вид или Уравнение имеет двукратный корень Ему соответствует решение вида
Продифференцируем функции x(t) и y(t) и подставим в исходную систему:
Сокращаем на и группируем. Получаем систему для коэффициентов
Так как кратность корня равна двум (k = 2), то выразим все коэффициенты последней системы через любые два, например, через A и B:
Полагая находим Полагая находим
Получаем два линейно-независимых частных решения:
и
Общее решение исходной системы имеет вид:
Пример 2. Найти частное решение системы
Решение. Характеристическое уравнение системы
т. е.
Оно имеет корни Для корня составляем систему (22.82):
Полагаем тогда
Частное комплексное решение системы:
Выделяем в полученных функциях действительные (Re) и мнимые (Im) части.
Поскольку то
тогда
Сопряженный корень новых линейно-независимых решений не дает, поэтому не рассматривается. Таким образом, общее решение исходной системы:
Найдем частное решение для заданных начальных условий. Получаем:
откуда находим
Искомое частное решение системы:
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 641;