Метод вариации произвольной постоянной
(метод Лагранжа):
1) находим общее решение соответствующего линейного однородного уравнения
2) общее решение линейного неоднородного уравнения ищем в виде
(22.17)
где – некоторая функция, которую необходимо найти;
3) подставляем функцию (22.17) в уравнение (22.15) и находим функцию C(x):
где С – произвольная постоянная;
4) общее решение уравнения (22.15) записываем в виде
(22.18)
Метод Бернулли:
1) ищем общее решение дифференциального уравнения (22.15) в виде
(22.19)
где – некоторые функции, которые надо найти;
2) подставляем функцию (22.19) и ее производную в уравнение (22.15), получаем:
или
(22.20)
3) функцию v(x) подбираем как частное решение (при ) дифференциального уравнения
(22.21)
4) при условии (22.21) решаем уравнение (22.20), которое приобретает вид
как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными (находим его общее решение);
5) общее решение исходного уравнения (22.15) записываем как произведение найденных функций u(x) и v(x), т. е. в виде (22.19).
З а м е ч а н и е. При решении дифференциальных уравнений методами Лагранжа и Бернулли реализуем «пошагово» описанные алгоритмы.
Уравнение вида
(22.22)
где называется уравнением Бернулли.
Если то это линейное дифференциальное уравнение, если – уравнение с разделяющимися переменными.
Если то при решении таких уравнений также применяют метод Лагранжа или метод Бернулли.
Пример 1. Решить уравнение двумя способами:
1) 2)
Решение.1) Преобразуем уравнение (полагая ) к виду линейного неоднородного дифференциального уравнения
1-й способ. Решим методом Лагранжа. Найдем общее решение соответствующего ему однородного уравнения
Интегрируем и получаем:
или где
Общее решение исходного дифференциального уравнения будем искать в виде
(22.23)
где – функция от переменной x.
Найдем C(x). Для этого дифференцируем (22.23):
Подставляем функцию (22.23) и ее производную в исходное дифференциальное уравнение:
Упрощаем полученное уравнение и решаем относительно Получаем:
Далее интегрируем:
Подставляем найденное выражение вместо C в равенство (22.23). Тогда общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид
2-й способ. Ищем общее решение исходного уравнения в виде (22.19). После подстановки получим:
(22.25)
Подбираем функцию v как частное решение (при ) уравнения
т. е.
Вследствие интегрирования имеем:
Подставляем найденную функцию v в (22.25), получаем:
Находим общее решение последнего уравнения, разделяя переменные:
Интегрируем и получаем:
или где
Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид (в соответствии с (22.19)):
Вывод: в данном примере решение методом Бернулли (2-й способ) оказалось более рациональным, так как быстрее привело к ответу.
2) 1-й способ. Решим уравнение методом Лагранжа. Находим общее решение соответствующего ему однородного уравнения
т. е.
Интегрирование дает:
или
Общее решение исходного дифференциального уравнения будем искать в виде
(22.26)
где
Дифференцируем функцию (22.26):
Подставляем функцию (22.26) и ее производную в исходное дифференциальное уравнение:
Интегрирование последнего равенства дает нам где
Подставляем найденное выражение вместо C(x) в (22.26). Получаем общее решение заданного уравнения:
т. е.
2-й способ. Ищем общее решение в виде (метод Бернулли), где – функции, которые надо найти. Вычисляем производную и подставляем ее вместе с функцией в исходное уравнение. Получаем:
т. е.
(22.27)
Согласно методу, полагаем Из этого уравнения (как из дифференциального уравнения с разделяющимися переменными) найдем функцию v(x). Интегрируем равенство и находим (константу C полагаем равной нулю).
Из последнего уравнения имеем: Возвращаемся к уравнению (22.27). С учетом равенства нулю выражения в скобках и найденной функции v(x) оно имеет вид:
или
Интегрируем последнее равенство. Получаем:
где
Тогда общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид:
т. е. приходим к ответу:
Вывод: более рациональным оказался метод Лагранжа (1-й способ), так как быстрее привел к общему решению исходного дифференциального уравнения.
Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения:
1) 2)
Решение. 1. Найдем общее решение методом Лагранжа. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение
Решаем его как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, т. е.
Его решением является где
Ищем общее решение заданного дифференциального уравнения в виде
(22.28)
где – некоторая функция.
Найдем функцию Дифференцируем выражение (22.28):
Подставляем найденную производную и функцию (22.28) в заданное уравнение, получаем:
т. е.
или
Тогда Интегрируя по частям, получим:
где
Найденное выражение С (x) подставляем в равенство (22.28), получаем:
Найдем частное решение, используя начальное условие. Если и то Значит, частное решение имеет вид:
2) Найдем общее решение методом Бернулли, т. е. в виде
После подстановки производной и самой функции в исходное дифференциальное уравнение получаем:
т. е.
(22.29)
Полагаем Интегрируем это уравнение как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и находим v(x):
(полагаем ) или
Возвращаемся к дифференциальному уравнению (22.29):
Имеем уравнение которое интегрируем, и получаем:
где
Тогда общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид:
или
Найдем частное решение, используя начальное условие. Если и то Значит, частное решение имеет вид:
Пример 3. Решить уравнение:
1) 2)
Решение. 1) Это уравнение Бернулли. Будем искать общее решение методом Бернулли, т. е. в виде
После подстановки получим:
После упрощения имеем:
(22.30)
Полагая находим функцию
(полагаем ).
Подставляем найденную функцию в дифференциальное уравнение (22.30):
или
Интегрируем последнее уравнение:
После интегрирования по частям получаем:
откуда
Тогда общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид:
2) Запишем заданное уравнение в виде
Это уравнение не является линейным дифференциальным уравнением вида (22.15) или уравнением Бернулли вида (22.22). Умножим заданное уравнение на получим:
Разделим его на y ( ) и получим уравнение Бернулли
(22.31)
решением которого является функция Ищем общее решение последнего дифференциального уравнения в виде где Находим производную и подставляем ее вместе с функцией в уравнение (22.31):
или
(22.32)
Найдем v(y), решая уравнение
т. е.
Интегрирование дает:
т. е. (полагаем ).
Подставляем найденную функцию v в уравнение (22.32):
Интегрируя последнее уравнение, получим:
или
Получаем общее решение (общий интеграл) заданного дифференциального уравнения:
или
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 1074;