Векторы и простейшие действия над ними

Под векторомна плоскости понимают направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке B, который обозначается (или ). Модулем, или длиной, такого вектора называется длина отрезка

Если нет необходимости указывать начало и конец вектора, то его обозначают или

Различают векторы связанные(закрепленные) с фиксированным началом и свободные. Под свободным вектором понимают класс эквивалентных направленных отрезков, т. е. таких отрезков, которые совмещаются при параллельном переносе.

Векторы и называются коллинеарными(обозначение: ), если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Кроме того, если они имеют одинаковое направление, их называют сонаправленными(обозначение: ), а если противоположное – противоположно направленными(обозначение: ).

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковые длины и являются сонаправленными. Записывается это с помощью обычного знака равенства: При этом запись понимают также в смысле, что начало свободного вектора приложено к точке А.

Вектор нулевой длины называется нулевыми обозначается Направление такого вектора считается неопределенным. У нулевого вектора начальная и конечная точки совпадают.

Пусть заданы два ненулевых вектора Отложим их от некоторой точки О таким образом, чтобы Под углом между векторами и понимают наименьший положительный угол, на который надо повернуть один из векторов, чтобы его направление совпало с направлением второго вектора.Этот угол не зависит от выбора точки О и изменяется от 0 до p.

Для векторов определены следующие линейные операции: умножение вектора на действительное число и сложение векторов

Произведением вектора на действительное число λ называется вектор удовлетворяющий следующим условиям:

Для того чтобы сложить векторы и геометрически, используют правило треугольника: начало вектора совмещается с концом вектора их суммой является вектор начало которого совпадает с началом вектора а конец – с концом вектора (рис. 8.1). Для обозначения этого действия используется обычный знак суммы:

Рис. 8.1

Сложение двух векторов можно производить также по правилу параллелограмма: векторы и приводятся к общему началу, некоторой точке О, и на них строится параллелограмм. Тогда суммой этих векторов является вектор который совпадает с диагональю построенного параллелограмма, исходящей из точки О (рис. 8.2).

Рис. 8.2

Сумма трех и более векторов может быть найдена по правилу замыкания (ломаной). Это вектор, начало которого совпадает с началом вектора а конец – с концом вектора (рис. 8.3).

Рис. 8.3

Свойства линейных операций над векторами:

1) коммутативность сложения векторов, т. е.

2) ассоциативность сложения векторов, т. е.

3) дистрибутивность сложения векторов относительно умножения на действительное число λ, т. е.

дистрибутивность сложения действительных чисел относительно умножения на вектор, т. е.

6) коммутативность и ассоциативность операции умножения вектора на число, т. е.

Вектор называется противоположным вектору

Разностью векторов и называется вектор

Для того чтобы найти разность векторы и приводятся к общему началу. Тогда разностью будет являться вектор у которого начало совпадает с концом вектора а конец – с концом вектора (рис. 8.4).

Рис. 8.4

Таким образом, геометрически векторы и изображаются диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и которые приведены к общему началу (рис. 8.5):

Рис. 8.5

Вектор называется ортом (единичным вектором) вектора если и Для его нахождения может быть использована формула

Вектор называется линейной комбинацией векторов если существуют числа такие, что

Говорят, что точка C делит вектор в отношении λ (λ > 0), если = λ

Кроме линейных операций, для векторов определено также скалярное умножение.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число

Скалярное произведение обозначается также

Если хотя бы один из векторов или нулевой, то

Скалярным квадратом вектора называется величина

Физический смысл скалярного произведения двух векторов состоит в том, что оно численно равно работе, осуществляемой силой по перемещению материальной точки на вектор т. е.

Для вычисления угла между векторами и можно воспользоваться формулой

Свойства скалярного произведения:

1) – коммутативность;

2) – дистрибутивность;

3) ;

4) тогда и только тогда, когда

5) тогда и только тогда, когда

тогда и только тогда, когда

Пример 1.По заданным трем векторам (рис. 8.6) изобразить их линейную комбинацию

Рис. 8.6

Решение. Зафиксируем на плоскости произвольную точку О и отложим от нее вектор (рис. 8.7). Затем от конца вектора отложим вектор и, наконец, вектор исходящий из концевой точки вектора Искомая линейная комбинация изображается вектором, замыкающим полученную ломаную с началом в точке О.

Рис. 8.7

Пример 2. Найти вектор, определяющий направление биссектрисы угла между ненулевыми векторами и

Решение. 1-й способ. Пусть для определенности Тогда Рассмотрим векторы и с общим началом в некоторой точке. По определению суммы векторов вектор совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и Поскольку то вектор совпадает с диагональю ромба, а значит, с направлением биссектрисы угла между этими векторами и векторами и Используя введенные обозначения, заключаем, что искомое направление биссектрисы может быть задано вектором

Аналогично можно показать, что вектором, задающим направление этой же биссектрисы, является также и

2-й способ. Отложим от фиксированной точки плоскости единичные векторы и построим на них ромб, диагональ которого совпадает с направлением биссектрисы угла между векторами а значит, между и