Операции над векторами в координатной форме

Прямоугольная декартова система координат Oxy на плоскости задается совокупностью точки О (начало системы координат) и пары перпендикулярных единичных векторов , При этом ось Ox, направление которой совпадает с направлением вектора называется осью абсцисс. Ось Оy, совпадающая по направлению с вектором – осью ординат. Вся плоскость называется координатной плоскостью xOy. За масштабную единицу выбирают длину

Координатами точки М являются перпендикулярные проекции точки М на координатные оси Ox и Oy, взятые с соответствующим знаком. Таким образом, точке М на плоскости соответствует упорядоченная пара (x, y) действительных чисел x и y. Пишут: M(x, y).

Каждой точке М на плоскости соответствует единственный радиус-вектор который имеет те же координаты, что и точка М. Пишут: Вектор может быть представлен также в виде линейной комбинации векторов

Если на плоскости заданы точки A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), то

длина

(8.1)

Пусть тогда его единичный вектор (орт) есть

(8.2)

При этом координаты орта задают направление вектора и называются направляющими косинусами. Если a и b – углы между вектором и базисными векторами и соответственно, то

(8.3)

Если то верны формулы:

(8.4)

(8.5)

(8.6)

(8.7)

Для коллинеарных векторов справедливо:

Координаты точки C(x_c, y_c), делящей отрезок AB в отношении λ > 0, находят по формулам:

(8.8)

Пример 1. Вектор образует с вектором угол с вектором угол Найти координаты вектора на плоскости, если

Решение. Орт вектора на плоскости xOy имеет координаты Используя формулы (8.2) и (8.3), получаем Так как то

Пример 2. Найти координаты векторов, определяемых диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

Решение. Известно, что сумма и разность векторов и определяют диагонали параллелограмма, построенного на них. Следовательно, Тогда

и, значит,

Аналогично находим

Пример 3. Координаты левого конца отрезка AB и его середины M соответственно равны A(–1, –5) и M(3, –2). Найти координаты точки В.

Решение. Пусть В(x_B, y_B). Середина отрезка делит его длину в отношении 1:1, т. е. λ = 1. Значит, из формул (8.8) имеем:

Выразив и получаем:

Приходим к ответу: В(7, 1).

Пример 4. Даны векторы Вычислить:

1) 2) 3) 4)

Решение. 1) Используя формулу (8.6), имеем:

2) Согласно формулам (8.4) и (8.5), получаем:

Тогда на основании формулы (8.10) вычисляем:

Получить тот же результат можно и несколько по-другому. Используем свойства скалярного произведения, а затем формулы (8.1) и (8.6):

3) Найдем координаты вектора используя формулы (8.4) и (8.5):

Следовательно, по формуле длины вектора (8.1) получаем:

В качестве второго способа решения примера можно использовать следующий. Поскольку то

Находим:

4) Используем формулу (8.7) и получаем:

Пример 5. Даны векторы Найти косинус угла между векторами и для которых

Решение. Выразим из первого заданного соотношения: Тогда, подставив во второе соотношение, получим откуда

Следовательно, на основании формулы (8.7) получаем:

Пример 6. Пусть векторы получены из векторов поворотом относительно точки О на угол (рис. 8.9). Представить произвольный вектор в виде линейной комбинации векторов если