Параметры эллипса

Точки F1(–c, 0) и F2(c, 0), где называются фокусами эллипса, при этом величина 2c определяет междуфокусное расстояние.

Точки А1(–а, 0), А2(а, 0), В1(0, –b), B2(0, b) называются вершинами эллипса (рис. 9.2), при этом А1А2 = 2а образует большую ось эллипса, а В1В2 – малую, – центр эллипса.

Основные параметры эллипса, характеризующие его форму:

ε = с/aэксцентриситет эллипса;

фокальные радиусы эллипса (точка М принадлежит эллипсу), причем r1 = a + εx, r2 = aεx;

директрисы эллипса.

 


Рис. 9.2

 

Для эллипса справедливо: директрисы не пересекают границу и внутреннюю область эллипса, а также обладают свойством

Эксцентриситет эллипса выражает его меру «сжатости».

Если b > a > 0, то эллипс задается уравнением (9.7), для которого вместо условия (9.8) выполняется условие

. (9.9)

Тогда 2а – малая ось, 2b – большая ось, – фокусы (рис. 9.3). При этом r1 + r2 = 2b,
ε = c/b, директрисы определяются уравнениями:

 


Рис. 9.3

 

При условии имеем (в виде частного случая эллипса) окружность радиуса R = a. При этом с = 0, а значит, ε = 0.

Точки эллипса обладают характеристическим свойством: сумма расстояний от каждой из них до фокусов есть величина постоянная, равная 2а (рис. 9.2).

Для параметрического задания эллипса (формула (9.7)) в случаях выполнения условий (9.8) и (9.9) в качестве параметра t может быть взята величина угла между радиус-вектором точки, лежащей на эллипсе, и положительным направлением оси Ox:

где

Если центр эллипса с полуосями находится в точке то его уравнение имеет вид:

(9.10)

 

 

Пример 1. Привести уравнение эллипса x2 + 4y2 = 16 к каноническому виду и определить его параметры. Изобразить эллипс.

Решение. Разделим уравнение x2 + 4y2 = 16 на 16, после чего получим:

По виду полученного уравнения заключаем, что это каноническое уравнение эллипса (формула (9.7)), где а = 4 – большая полуось, b = 2 – малая полуось. Значит, вершинами эллипса являются точки A1(–4, 0), A2(4, 0), B1(0, –2), B2(0, 2). Так как – половина междуфокусного расстояния, то точки являются фокусами эллипса. Вычислим эксцентриситет:

Директрисы D1, D2 описываются уравнениями:

Изображаем эллипс (рис. 9.4).

 


Рис. 9.4

 

Пример 2. Определить параметры эллипса

Решение. Сравним данное уравнение с каноническим уравнением эллипса со смещенным центром. Находим центр эллипса С: Большая полуось малая полуось прямые – главные оси. Половина междуфокусного расстояния а значит, фокусы Эксцентриситет Директрисы D1 и D2 могут быть описаны с помощью уравнений: (рис. 9.5).

 

 


Рис. 9.5

Пример 3. Определить, какая кривая задается уравнением, изобразить ее:

1) x2 + y2 + 4x – 2y + 4 = 0; 2) x2 + y2 + 4x – 2y + 6 = 0;

3) x2 + 4y2 – 2x + 16y + 1 = 0; 4) x2 + 4y2 – 2x + 16y + 17 = 0;

5)

Решение. 1) Приведем уравнение к каноническому виду методом выделения полного квадрата двучлена:

x2 + y2 + 4x – 2y + 4 = 0;

(x2 + 4x) + (y2 – 2y) + 4 = 0;

(x2 + 4x + 4) – 4 + (y2 – 2y + 1) – 1 + 4 = 0;

(x + 2)2 + (y – 1)2 = 1.

Таким образом, уравнение может быть приведено к виду

(x + 2)2 + (y – 1)2 = 1.

Это уравнение окружности с центром в точке (–2, 1) и радиусом R = 1 (рис. 9.6).

 


Рис. 9.6

 

2) Выделяем полные квадраты двучленов в левой части уравнения и получаем:

(x + 2)2 + (y – 1)2 = –1.

Это уравнение не имеет смысла на множестве действительных чисел, так как левая часть неотрицательна при любых действительных значениях переменных x и y, а правая – отрицательна. Поэтому говорят, что это уравнение «мнимой окружности» или оно задает пустое множество точек плоскости.

3) Выделяем полные квадраты:

x2 + 4y2 – 2x + 16y + 1 = 0;

(x2 – 2x + 1) – 1 + 4(y2 + 4y + 4) – 16 + 1 = 0;

(x – 1)2 + 4(y + 2)2 – 16 = 0;

(x – 1)2 + 4(y + 2)2 = 16.

 

Значит, уравнение имеет вид:

или

Полученное уравнение, а следовательно, и исходное задают эллипс. Центр эллипса находится в точке О1(1, –2), главные оси задаются уравнениями y = –2, x = 1, причем большая полуось а = 4, малая полуось b = 2 (рис. 9.7).

 

 


Рис. 9.7

 

4) После выделения полных квадратов имеем:

(x – 1)2 + 4(y + 2)2 – 17 + 17 = 0 или (x – 1)2 + 4(y + 2)2 = 0.

Полученное уравнение задает единственную точку плоскости с координатами (1, –2).

5) Приведем уравнение к каноническому виду:

Очевидно, оно задает эллипс, центр которого находится в точке главные оси задаются уравнениями причем большая полуось малая полуось (рис. 9.8).

 

 


Рис. 9.8

 

Пример 4. Записать уравнение касательной к окружности радиуса 2 с центром в правом фокусе эллипса x2 + 4y2 = 4 в точке пересечения с осью ординат.

Решение. Уравнение эллипса приведем к каноническому виду (9.7):

Значит, и правый фокус – Поэтому, искомое уравнение окружности радиуса 2 имеет вид (рис. 9.9):

Окружность пересекает ось ординат в точках, координаты которых определяются из системы уравнений:

Получаем:

Пусть это точки N (0; –1) и М (0; 1). Значит, можно построить две касательные, обозначим их Т1 и Т2. По известному свойству касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Пусть Тогда уравнение касательной Т1 примет вид:

значит, или Т1:

Тогда уравнение касательной Т2 примет вид:

значит, или Т2:

 


Рис. 9.9

Пример 5. Записать уравнение окружности, проходящей через точку М(1, –2) и точки пересечения прямой x – 7y + 10 = 0 с окружностью x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0.

Решение. Найдем точки пересечения прямой x – 7y + 10 = 0 с окружностью x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0, решив систему уравнений:

Выразим х из первого уравнения системы:

x = 7y – 10.

Затем подставим во второе:

(7y – 10)2 + y2 – 2(7y – 10) + 4y – 20 = 0.

Оно равносильно уравнению

y2 – 3y + 2 = 0.

Используя формулы корней квадратного уравнения, найдем y1 = 1, y2 = 2, откуда x1 = –3, x2 = 4.

Итак, имеем три точки, лежащие на окружности: M(1, –2), M1(4, 2) и M2(–3, 1). Пусть О1(x0, y0) – центр окружности. Тогда где R – радиус окружности.

Найдем координаты векторов:

Значит,

что равносильно системе

Упрощаем ее:

Решая последнюю систему, получаем ответ:

 

 

Таким образом, центр окружности находится в точке (0,5; 1,5), ее радиус

Тогда каноническое уравнение искомой окружности имеет вид:

 








Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 5976; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2023 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.036 сек.