Кривой на плоскости

Выделим на плоскости произвольную точку О – полюс – и проведем числовой луч ОР – полярную ось. Расстояние от полюса до произвольной точки М обозначим ρ, а величину угла, на который нужно повернуть ОР, чтобы совместить с ОМ, обозначим через φ. Будем считать φ положительным, если поворот совершается против часовой стрелки, и отрицательным – в противном случае.

Величины ρ и φ называются полярными координатами точки М: ρ – полярный радиус, φ – полярный угол. Принято считать, что или а полюс имеет нулевые полярные координаты.

Если заданы одновременно прямоугольная система координат xOy и полярная с полярной осью Ox, то можно установить связь между прямоугольными (x, y) и полярными (ρ, φ) координатами точки М на плоскости с помощью следующих формул:

(8.9)

(8.10)

Можно рассматривать уравнения кривых в полярных координатах: ρ = ρ(φ) или Ф(ρ, φ) = 0.

Пример 1. Найти полярные координаты точек

Решение. Точка лежит в I четверти прямоугольной системы координат. Значит, полярный угол φ удовлетворяет условию 0 < φ < π/2, причем согласно первой формуле системы (8.10):

Следовательно, что приводит к Итак,

Точка является внутренней точкой III четверти прямоугольной системы координат, следовательно, (или ). Найдем полярный радиус (используем формулы (8.10)):

Тогда Значит, или Таким образом, точку B в полярной системе координат можно задать как B или

Рассмотрим точку С. Учитывая, что а значит, определяем, что точка С лежит во II четверти прямоугольной системы координат. Ее полярный радиус, согласно формулам (8.10), есть

Для нахождения полярного угла φ поступим следующим образом. Найдем затем, воспользовавшись тем, что наименьший положительный период функции y = tgx равен π, а угол φ удовлетворяет соотношению получим:

Значит,

З а м е ч а н и е. При использовании формулы при нахождении полярного угла целесообразно изображать эти точки на чертеже (рис. 8.10).

Рис. 8.10

Пример 2. Зная полярные координаты точек , найти их прямоугольные координаты.

Решение. Используя формулы (8.9), находим прямоугольные координаты заданных точек:

Следовательно,

Следовательно, B(–1, 1).

Следовательно,

Пример 3.Зная полярные координаты точки r = 10, найти ее прямоугольные координаты, если полюс находится в точке А(2, 3), а полярная ось параллельна оси Ox.

Решение.Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy, удовлетворяющую условию задачи (рис. 8.11). Тогда точка в этой системе координат определена как М(x_M, y_M).

Очевидно, что

Таким образом, в заданной прямоугольной системе координат точка М определена как

Рис. 8.11

Пример 4. Составить параметрические уравнения окружности x² + y² = 1, приняв за параметр угол между осью Ox и радиус-вектором где О – центр окружности, М – ее точка.

Решение. Пусть точка М имеет прямоугольные координаты Тогда, по определению тригонометрических функций, где Таким образом, получили параметрические уравнения окружности.

Пример 5. Найти уравнение фигуры на плоскости в прямоугольных координатах, если она имеет следующее уравнение в полярной системе координат:

1) r = 4; 2) 3) r = 2cosφ.

Решение. Для решения примеров будем использовать формулы (8.10).

1) Поскольку Возводим в квадрат и получаем – уравнение окружности с центром в точке (0, 0) и радиусом r = 4.

2) Уравнение означает, что причем точка с координатами (x, y) лежит в I четверти. Значит, или Получим уравнение луча с началом в точке (0, 0).

3) Заданное уравнение запишем в виде Получили Выделяем полный квадрат и приходим к уравнению которое есть уравнение окружности с центром в точке (1, 0) и радиусом r = 1.